Die inverse Iteration ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen. Sie ist eine Variante der Von-Mises-Iteration, mit deren Hilfe allerdings beliebige Eigenwerte berechnet werden können. Das Verfahren wurde 1944 von Helmut Wielandt bei der Stabilitätsanalyse von Strukturen, die kleine Störungen bekannter Systeme sind, eingeführt. In diesem Fall sind gute Approximationen für die relevanten Eigenwerte bekannt, und man erhält rasche Konvergenz.

Beschreibung

Bearbeiten

Ist   ein Eigenwert der quadratischen Matrix   und   der zugehörige Eigenvektor, so ist   ein Eigenwert von   zum Eigenvektor  , wobei   die Einheitsmatrix ist. Des Weiteren ist dann   ein Eigenwert von   zum Eigenvektor  . Ist   nun der Eigenwert von  , der   am nächsten liegt, so ist   der betragsmäßig größte Eigenwert von  . Wendet man nun auf   die Potenzmethode an, so konvergiert   gegen den Eigenvektor zum Eigenwert   von  , der   am nächsten liegt.

Statt wie bei der Potenzmethode in jedem Schritt die Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, wird nun ein lineares Gleichungssystem gelöst, da   nicht explizit verfügbar ist. Diese Matrix ist schlechter konditioniert, je näher   an   liegt, allerdings hat der Fehler eine dominante Komponente in Richtung des gesuchten Eigenvektors, so dass das Verfahren praktisch nutzbar ist.

Algorithmus

Bearbeiten

Gegeben sei eine quadratische Matrix  , ein Startvektor   und ein Shift   so dass   regulär ist. Der Startvektor kann bis auf eine Lebesgue-Nullmenge beliebig gewählt werden.

Für  

  1.  
  2. Löse  

Über den Rayleigh-Quotienten erhält man eine Näherung für den zugehörigen Eigenwert.

 

Erweiterungen

Bearbeiten

Wählt man in jedem Schritt über   einen neuen Shift so erhält man die Rayleigh-Quotienten-Iteration.

Literatur

Bearbeiten
  • Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations
  • James H. Wilkinson: The Algebraic Eigenvalue Problem
  • Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.