Reflexive Relation

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation $R$ auf einer Menge ist gegeben, wenn $xRx$ für alle Elemente $x$ der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt $R$ dann reflexiv.

Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung $xRx$ für kein Element $x$ der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung $xRx$ für einige Elemente $x$ der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition

Ist $M$ eine Menge und $R\subseteq M\times M$ eine zweistellige Relation auf $M$, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

$R$ ist reflexiv :$\Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx$

$R$ ist irreflexiv :$\Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx$

Beispiele

Reflexiv

• Die Kleiner-Gleich-Relation $\leq$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x\leq x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $\geq$.

• Die gewöhnliche Gleichheit $=$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x=x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ zwischen Mengen ist reflexiv, da stets $A\subseteq A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

Irreflexiv

• Die Kleiner-Relation $<$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x<x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $>$.

• Die Ungleichheit $\neq$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x\neq x$ gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung $\subset$ zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie $A\subset A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Weder reflexiv noch irreflexiv

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

$xRy:\Longleftrightarrow y=x^{2}$

Grund: Für $x:=1$ gilt $xRx$, für $x:=2$ gilt $\neg xRx$.

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation $R$ auf einer Menge $M$ kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von $M$. Vom Knoten $a$ zum Knoten $b$ wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil $a\longrightarrow b$) gezogen, wenn $aRb$ gilt.

Die Reflexivität von $R$ lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten $a$ gibt es eine Schleife ${\stackrel {a}{\circlearrowright }}$. Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten $a$ eine Schleife ${\stackrel {a}{\circlearrowright }}$ gibt.

Eigenschaften

• Mit Hilfe der identischen Relation $Id_{M}$ (die aus allen Paaren $(x,x)$ besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:

  $R$ ist reflexiv $\Longleftrightarrow Id_{M}\subseteq R$

  $R$ ist irreflexiv $\Longleftrightarrow Id_{M}\cap R=\varnothing$

• Ist die Relation $R$ reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation $R^{-1}$. Beispiele: die zu $\leq$ konverse Relation ist $\geq$, die zu $<$ konverse ist $>$.

• Ist die Relation $R$ reflexiv, dann ist die komplementäre Relation $R^{\rm {c}}$ irreflexiv. Ist $R$ irreflexiv, dann ist $R^{\rm {c}}$ reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch

  $xR^{\rm {c}}y:\Longleftrightarrow \neg xRy$.

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auch

• Nichtsättigungsaxiom
• Reflexive Hülle
• Reflexiv-transitive Hülle