Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus $\phi \colon A\rightarrow B$ von Abelschen Varietäten $A$ und $B$ eine Isogenie, wenn $\phi$ surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie $\phi \colon A\rightarrow B$, so heißen die Abelschen Varietäten $A$ und $B$ isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.

Definition

Sind $A$ und $B$ Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus $\phi \colon A\rightarrow B$ äquivalent:

• $\phi$ ist eine Isogenie, das heißt $\phi$ ist surjektiv und der Kern von $\phi$ ist endlich.
• $A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und $\phi$ ist surjektiv.
• $A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und der Kern von $\phi$ ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man $A$ und $B$ isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Literatur

• Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch). 
• David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).