In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus von Abelschen Varietäten und eine Isogenie, wenn surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie , so heißen die Abelschen Varietäten und isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.[1]

Definition

Bearbeiten

Sind   und   Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus   äquivalent[2]:

  •   ist eine Isogenie, das heißt   ist surjektiv und der Kern von   ist endlich.
  •   und   besitzen die gleiche Dimension und   ist surjektiv.
  •   und   besitzen die gleiche Dimension und der Kern von   ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man   und   isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.
  2. James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

Literatur

Bearbeiten