Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume $(X,\Vert \cdot \Vert _{X})$ und $(Y,\Vert \cdot \Vert _{Y})$ sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus $T:X\rightarrow Y$ existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also $\Vert Tx\Vert _{Y}=\Vert x\Vert _{X}$ erfüllt. Man schreibt dann $X\cong Y$.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator $T$ übernimmt die Identifizierung von Elementen aus $X$ mit Elementen aus $Y.$ Die Isometrie von $T$ sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung $T^{-1}$ wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

• Jeder separable unendlich-dimensionale Hilbertraum ist isometrisch isomorph zum Raum $\ell ^{2}$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
• Zwei Hilberträume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn ihre Hilbertraumdimensionen übereinstimmen.
• Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem Untervektorraum des Raumes $(C(K),\Vert \cdot \Vert _{\infty })$ der stetigen Funktionen auf einem geeignet gewählten kompakten topologischen Raum $K$ nach $\mathbb {R}$ mit der Supremumsnorm.
• Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum des Raums $(C([0,1]),\Vert \cdot \Vert _{\infty })$ der stetigen Funktionen vom Einheitsintervall $[0,1]$ nach $\mathbb {R}$ mit der Supremumsnorm.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7