Isomorphiesatz

mathematischer Satz

Die Isomorphiesätze sind zwei mathematische Sätze, die Aussagen über Gruppen machen. Sie lassen sich auch auf komplexere algebraische Strukturen übertragen und sind somit ein wichtiges Resultat der universellen Algebra. Die Isomorphiesätze sind eine direkte Folgerung aus dem Homomorphiesatz der entsprechenden algebraischen Struktur.

Manchmal wird der Homomorphiesatz als erster Isomorphiesatz bezeichnet. Die unten angegebenen Sätze heißen dann dementsprechend zweiter bzw. dritter Isomorphiesatz.

Geschichte

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Die Isomorphiesätze wurden zunächst in allgemeiner Form für Modulhomomorphismen von Emmy Noether in ihrer Arbeit Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, welche 1927 in Mathematische Annalen veröffentlicht wurde.[1] Weniger allgemeine Resultate dieser Sätze lassen sich auch in vorangegangenen Arbeiten von Richard Dedekind und Emmy Noether finden.

Gruppentheorie

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Erster Isomorphiesatz

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Es seien   eine Gruppe,   ein Normalteiler in   und   eine Untergruppe von  . Dann ist auch das Komplexprodukt   eine Untergruppe von  ,   ist ein Normalteiler in   und die Gruppe   ist ein Normalteiler in  . Es gilt:

 

Dabei bezeichnet   die Isomorphie von Gruppen.

Der Isomorphismus, der dabei üblicherweise gemeint ist, wird als kanonischer Isomorphismus bezeichnet. Er wird gemäß dem Homomorphiesatz von der surjektiven Abbildung

 

induziert, denn es gilt offenbar

 .

Aus dem ersten Isomorphiesatz erhält man als Spezialfall die anschauliche Aussage, dass man genau dann mit   „erweitern“ darf, wenn  .

Zweiter Isomorphiesatz

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Es seien   eine Gruppe,   ein Normalteiler in   und   eine Untergruppe von  , die Normalteiler in   ist. Dann gilt:

 

In diesem Fall kann man kanonische Isomorphismen in beide Richtungen angeben, einerseits induziert durch

 

andererseits durch

 

Anschaulich ausgedrückt besagt der zweite Isomorphiesatz, dass man   „kürzen“ darf.

In angepasster Form gelten die Isomorphiesätze auch für Ringe:

Erster Isomorphiesatz

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Es seien   ein Ring,   ein Ideal von   und   ein Unterring von  . Dann ist die Summe   ein Unterring von   und der Schnitt   ein Ideal von  . Es gilt:

 .

Dabei bezeichnet   die Isomorphie von Ringen.

Zweiter Isomorphiesatz

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Es seien   ein Ring,   zwei Ideale von  . Dann ist   ein Ideal von  . Es gilt:

 .

Vektorräume, abelsche Gruppen oder Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie

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Es seien  

Dann gilt:

  •  
  •  

Auch hier steht das Symbol   für die Isomorphie der entsprechenden algebraischen Strukturen bzw. Objekte in der jeweiligen Kategorie.

Die kanonischen Isomorphismen sind eindeutig dadurch bestimmt, dass sie mit den beiden kanonischen Pfeilen von   bzw.   kompatibel sind.

Eine weitreichende Verallgemeinerung der Isomorphiesätze liefert das Schlangenlemma.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Emmy Noether: Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern. In: Mathematische Annalen. Band 96, Nr. 1, Dezember 1927, ISSN 0025-5831, S. 26–61, doi:10.1007/BF01209152 (springer.com [abgerufen am 13. Mai 2024]).