Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung $F\colon V\times V\rightarrow V$ auf dem Vektorraum $V$ die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

$F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0$

für alle $x,y,z\in V$.

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im Folgenden

$[{\cdot },{\cdot }]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto [x,y]$

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf $V$ definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

• $[x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]$

Anders gesagt: die Abbildung

$a\mapsto [x,a]$

ist eine Derivation bezüglich des Produktes $[{\cdot },{\cdot }]$.

• $[[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]$

Anders gesagt: Mit der Notation

$\operatorname {ad} (a)\colon V\to V,\quad x\mapsto \operatorname {ad} (a)(x)=[a,x]$

gilt

$\operatorname {ad} ([a,b])=[\operatorname {ad} (a),\operatorname {ad} (b)];$

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von $V$. Anders gesagt: Die Abbildung

$\operatorname {ad} \colon V\to {\mathfrak {gl}}(V)=\operatorname {End} V,\quad a\mapsto \operatorname {ad} (a)$

ist eine Darstellung der Lie-Algebra $V$ auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

Quellen

• Jacobi-Identität. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.