Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

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Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen  . In diesem Fall ist   durch

 

gegeben, wobei die Koeffizienten

 

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung   der Differenzengleichung

 

ist ein Polynom vom Grad   und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor   gehört.

Anwendungen

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Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall   ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

Literatur

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