In der Mathematik, insbesondere in der Algebra, ist ein Körperhomomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen so genannten Körpern.

Definition

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Seien   und   zwei Körper.

  • Eine Funktion   heißt Körperhomomorphismus, falls sie folgende Axiome erfüllt:
  1.   sowie  
  2.  
  3.  

Es ist daher unerheblich, ob Elemente zunächst in   verknüpft werden und das Ergebnis anschließend durch einen Homomorphismus abgebildet wird, oder ob die Verknüpfung der entsprechenden Funktionswerte erst in   geschieht.

  • Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt Körperisomorphismus.

Körper, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, in Zeichen  , sind aus Sicht der (abstrakten) Algebra ununterscheidbar.

  • Ein Körperisomorphismus   eines Körpers in sich selbst heißt Körperautomorphismus.

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich speziell mit Körperautomorphismen, die einen gegebenen Unterkörper invariant lassen.

Eigenschaften

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  • Jeder Körper ist insbesondere ein Ring mit Eins. Entsprechend ist ein Körperhomomorphismus   lediglich ein Ringhomomorphismus, für den zusätzlich gefordert wird, dass   gilt. Insbesondere induziert   sowohl einen Gruppenhomomorphismus   der additiven Gruppen als auch einen Gruppenhomomorphismus   der multiplikativen Gruppen.
  • Ein Körperhomomorphismus   ist immer injektiv: Da der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal ist, aber der Körper   nur die trivialen Ideale   und   besitzt, muss wegen   somit   gelten. Daher ist   injektiv.
  • Ein Körperautomorphismus   lässt stets zumindest den Primkörper von   invariant.

Beispiele

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Literatur

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