Körperturm

Begriff aus der Algebra, mehrere ineinander verschachtelte Körpererweiterungen

Körperturm ist ein Begriff aus der Algebra. Es handelt sich um mehrere ineinander verschachtelte Körpererweiterungen.

Definition

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Ein Körperturm der Höhe   ist eine Folge von Körpererweiterungen

 .

Für jedes   soll   eine Körpererweiterung sein. Trotz des verwendeten Inklusionssymbols ist das mehr als eine Teilmengenbeziehung, die Verknüpfungen des Körpers   sollen die Einschränkungen der Verknüpfungen des Körpers   sein. Auch bei unendlichen Folgen solcher Körpererweiterungen spricht man von Körpertürmen.

Beispiele und Anwendungen

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  •   ist ein Körperturm.
  • Jede Körpererweiterung   ist ein Körperturm der Höhe 1. Ist   ein Zwischenkörper, so ist   ein Körperturm der Höhe 2.
  • Ist   der Körper der rationalen Funktionen in   Unbestimmten, so ist
 
ein Körperturm. Dieses Beispiel lässt sich zu einem unendlichen Körperturm fortsetzen.
  • Eine Körpererweiterung   heißt eine Radikalerweiterung, wenn es einen Körperturm
 
gibt, in dem jede Erweiterung   durch Adjunktion einer  -ten Wurzel entsteht, das heißt zu jedem   gibt es eine natürliche Zahl   und ein Element   mit   und es ist  .[1] Solche Radikalerweiterungen spielen eine wichtige Rolle in der Untersuchung der Frage, für welche Polynomgleichungen die Nullstellen durch Formeln aus Körperoperationen und Wurzelziehen in den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden können.
  • Der Gradsatz verallgemeinert sich wie folgt auf Körpertürme:
Ist   ein Körperturm aus endlichen Körpererweiterungen, so gilt für die Erweiterungsgrade:[2]
 .
  • Gibt es einen Körperturm
 ,
und gilt   für alle  , so sind alle Punkte der komplexen Ebene, die in einem der   liegen, mit Zirkel und Lineal konstruierbar.[3][4] Die Elemente der Körper heißen konstruierbare Zahlen.

Einzelnachweise

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  1. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen - Ringe – Körper, Springer Spektrum 2017, ISBN 3-6625-4721-X, Abschnitt 29.2.1: Radikalerweiterungen
  2. Kurt Meyberg: Algebra 2, Carl Hanser Verlag München Wien 1976, ISBN 3-446-12172-2, Korollar 3 zu Satz 6.2.6
  3. Ina Kersten: Algebra, Universitätsverlag Göttingen (2006), ISBN 3-9386-1661-X, Kapitel 19.4: Algebraische Formulierung der Konstruierbarkeit
  4. Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie, Springer Spektrum 2014, ISBN 3-6425-5215-3, Kapitel 9.5: Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal