K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R}$ abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf $\mathbb {R} ^{n}$ verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Gegeben sei eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ein echter Kegel $K$ im $\mathbb {R} ^{n}$ sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung $\prec _{K}$. Dann heißt die Funktion

• K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)\leq f(y)$ ist.
• K-monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)\geq f(y)$ ist.
• strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D,\,x\neq y$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)<f(y)$ ist.
• strikt K-monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D,\,x\neq y$ mit $x\preccurlyeq _{K}y$ gilt, dass $f(x)>f(y)$ ist.
• strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
• K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele

• Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K=\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$.
• Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K=\mathbb {R} _{-}=(-\infty ,0]$. Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
• Sind die Funktionen $f_{i}(x_{i})$ monoton wachsend, so ist die Funktion

$f(x)=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{n}(x_{n})$

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten $\mathbb {R} ^{n}$. Dies folgt direkt aus der Monotonie der $f_{i}$.

Eigenschaften

Sei $h:\mathbb {R} ^{n}\supset D\to R$ differenzierbar und $D$ eine konvexe Menge sowie $K^{D}$ der duale Kegel des Kegels $K$. Dann gilt:

• $h$ ist K-monoton wachsend auf $D$ genau dann, wenn $\nabla h(x)\succcurlyeq _{K^{D}}0$ für alle $x\in D$.
• $h$ ist K-monoton fallend auf $D$ genau dann, wenn $\nabla h(x)\preccurlyeq _{K^{D}}0$ für alle $x\in D$.
• Wenn $\nabla h(x)\succ _{K^{D}}0$ für alle $x\in D$ gilt, dann ist $h$ strikt K-monoton wachsend auf $D$.
• Wenn $\nabla h(x)\prec _{K^{D}}0$ für alle $x\in D$ gilt, dann ist $h$ strikt K-monoton fallend auf $D$.

Matrix-monotone Funktionen

Wählt man als Vektorraum anstelle des $\mathbb {R} ^{n}$ den $S^{n}$ (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen $h\colon S^{n}\to \mathbb {R}$ Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen $S_{+}^{n}$, was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante $\det \colon S^{n}\to \mathbb {R}$ strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel $S_{++}^{n}$ der positiv definiten Matrizen.

Verwendung

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Literatur

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).