Kanonischer stochastischer Prozess

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Ein kanonischer stochastischer Prozess, kurz kanonischer Prozess, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine allgemeine Formulierung eines stochastischen Prozesses, die sich durch ihre Einfachheit auszeichnet. Dabei werden die Koordinatenabbildungen eines großen zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes als Zufallsvariablen des stochastischen Prozesses aufgefasst. Der zugrundeliegende Messraum wird dann auch als kanonischer Raum bezeichnet.

Definition

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Gegeben sei eine beliebige nichtleere Indexmenge   sowie eine nichtleere Grundmenge   und eine σ-Algebra   auf dieser Grundmenge. Betrachtet man die Projektionen

 ,

die für alle   definiert sind durch

 ,

so heißt der stochastische Prozess   der kanonische Prozess auf  . Der Messraum   heißt dann auch der kanonische Raum des Prozesses.

Bemerkung

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Die Verteilungen der Zufallsvariablen   werden durch die Vorgabe eines Wahrscheinlichkeitsmaßes   auf dem Messraum   definiert, sie sind dann genau die eindimensionalen Randverteilungen. Hierfür benötigt man unter Umständen Aussagen über die Existenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf abzählbaren oder überabzählbaren Produkten von Mengen wie den Satz von Ionescu-Tulcea oder den Erweiterungssatz von Kolmogorov.

Beispiel

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Betrachtet man die Indexmenge   sowie als Grundraum   versehen mit der Borelschen σ-Algebra, also   und ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß   auf   sowie das Produktmaß  , so besitzen die Projektionen auf die einzelnen Komponenten die Verteilungen  . Der kanonische Prozess liefert hier aufgrund der Eigenschaften des Produktmaßes unabhängig identisch  -verteilte Zufallsvariablen.

Literatur

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