Erweiterungssatz von Kolmogorov

mathematischer Satz

Der Erweiterungssatz von Kolmogorov, gelegentlich auch Kolmogorov'scher Erweiterungssatz[1], Satz von Kolmogorov[2] oder Existenzsatz von Kolmogorov[3] genannt, ist eine zentrale Existenzaussage der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Aussage wird Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow zugeschrieben, aber auch Satz von Daniell-Kolmogorov genannt, da sie bereits 1919 von Percy John Daniell in einer nicht-stochastischen Formulierung bewiesen wurde.[4]

Der Satz liefert die Existenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf überabzählbaren Produkträumen und ist damit essentiell für die Existenz von stochastischen Prozessen, abzählbaren und überabzählbaren Produktmaßen und unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen.

Gegeben sei eine nichtleere Indexmenge   und Borel’sche Räume   für  . Sei   die Menge aller nichtleeren, endlichen Teilmengen von  . Ist eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen   gegeben, so existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß   auf dem Messraum

 

für das   für jedes   gilt. Dabei bezeichnet   die Projektion auf die Komponenten der Indexmenge  . Man schreibt dann

 

und bezeichnet das Wahrscheinlichkeitsmaß   dann als projektiven Limes.

Beispiel: Produktmaße auf überabzählbaren Produkten

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Betrachtet man eine überabzählbare Indexmenge   sowie Borel’sche Räume  , jeweils versehen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß   für alle  , so lässt sich für beliebiges   das Produktmaß auf endlichen Produkten

 

auf dem herkömmlichen maßtheoretischen Weg konstruieren. Die Familie dieser Produktmaße   ist aber projektiv und lässt sich somit nach dem obigen Satz zu einem eindeutigen Wahrscheinlichkeitsmaß   auf

 

fortsetzen. Der Satz von Andersen-Jessen liefert eine allgemeinere Aussage zur Existenz von beliebigen Produktmaßen, bei der auf die Verwendung von Borel'schen Räumen verzichtet werden kann.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 295.
  2. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 458.
  3. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 559.
  4. “But you have to remember P. J. Daniell of Sheffield” – John Aldrich. Website des Electronic Journal for History of Probability and Statistics. Abgerufen am 7. November 2015.

Literatur

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