Die Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung (KPZ-Gleichung) ist eine nicht-lineare stochastische partielle Differentialgleichung (SPDGL), die u. a. in der statistischen Mechanik vorkommt. Die Gleichung dient zur Modellierung des stochastischen Grenzflächenwachstums. Sie ist die stochastische Raumzeitevolution der Fluktuation eines Höhenfeldes. Sie kann zum Beispiel zur Modellierung von auf eine Oberfläche fallende klebrige Partikel verwendet werden.

Die Gleichung wurde von den Physikern Mehran Kardar, Giorgio Parisi und Yi-Cheng Zhang im Jahr 1986 eingeführt.

Definition

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Mit der Notation   meinen wir den Laplace-Operator und mit   den Nabla-Operator, welche beide nach   abgeleitet sind.

Die KPZ-Gleichung ist definiert als[1]

 

wobei die Lösung   ein Höhenfeld der Oberfläche mit Raumkoordinate   und Zeitkoordinate   ist.

Die Gleichung besteht aus drei Komponenten, einem Glättungsterm, einem Wachstumsterm und einem stochastischen Rauschen

  •   ein glättender Diffusionsterm, dieser dient zur Relaxation durch die Oberflächenspannung  .
  •   ein nicht-linear wachsender Ausdruck,
  •   ein raumzeitliches weißes gaußsches Rauschen; d. h. es gilt   und  .

Die Gleichung trifft man auch in folgender Form an

 

wobei   und  .

Parametrisierung

  •   sind Parameter.   bezeichnet die Amplitude des Rauschens und   ist die Dimension des Modells.   ist die Diffusivität und   die Stärke der Wachstumsgeschwindigkeit.

Die Standard-Parametrisierung für den eindimensionalen Fall   ist  , somit

 

Eine Schwierigkeit der KPZ-Gleichung ist, dass alle invarianten Maße Verteilungen der brownschen Bewegungen der Form   sind, wobei   eine gerade Linie (ein Shift) bezeichnet.

Lösung der Gleichung

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Cole-Hopf-Transformation

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Sei   eine Lösung der KPZ-Gleichung

 

und betrachte den stochastischen Prozess  , dann ist   die Lösung der stochastischen Wärmeleitungsgleichung

 

Hier ist   eine andere Notation für   und bezeichnet das raumzeitliche weiße gaußsche Rauschen (  ist ein zylindrischer Wiener-Prozess und das Zeitintegral von  ).[2]

Geschichte

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2012 veröffentlichte der österreichische Mathematiker Martin Hairer eine Lösung, die die bestehende Cole-Hopf-Lösung erweitert. 2014 bekam er unter anderem dafür die Fields-Medaille.[3]

Skalierung und der KPZ-Fixpunkt

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Wir betrachten die eindimensionale   KPZ-Gleichung. Betrachtet man die skalierte KPZ-Lösung

 

dann existieren zwei schwache Skalierungen, unter der die KPZ-Gleichung invariant ist. Eine weitere interessante Skalierung erhält man mit den Parametern   und  , welche 1:2:3-Skalierung genannt wird. Zentriert man den Prozess unter dieser Skalierung

 

gemäß den Initialbedingungen, dann konvergiert   für   in Verteilung zu einem universellen Prozess, dem sogenannten KPZ-Fixpunkt. Der Prozess wird mit   notiert.

Die eindimensionale KPZ-Gleichung gehört zu einer großen Klasse von stochastischen Modellen, welche KPZ-Universalitätsklasse genannt wird. Die KPZ-Universalitätsvermutung behauptet nun, dass jedes in der KPZ-Universalitätsklasse liegende Modell unter der 1:2:3-Skalierung in Verteilung zum KPZ-Fixpunkt konvergiert

 

(wobei die Konstanten variieren) und nur von der Initialbedingung abhängt

 [4][5]

Der KPZ-Fixpunkt ist invariant unter der 1:2:3-Skalierung, die KPZ-Gleichung ist es nicht.

Edwards-Wilkinson-Fixpunkt

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Setzt man   (man entfernt damit den Wachstumsausdruck) und benützt die 1:2:4-Skalierung gegeben durch   und  , so konvergiert

 

zu dem trivialen gaußschen Edwards-Wilkinson-Fixpunkt. Der Name der Skalierung folgt aus  ,   und  .

Einzelnachweise

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  1. Tomohiro Sasamoto, Herbert Spohn: One-Dimensional Kardar-Parisi-Zhang Equation: An Exact Solution and its Universality. In: Physical Review Letters. Nr. 23, 2010, doi:10.1103/physrevlett.104.230602.
  2. Lorenzo Bertini und Giambattista Giacomin: Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems. In: Springer Verlag (Hrsg.): Communications in Mathematical Physics. Band 183, 1997, S. 580, doi:10.1007/s002200050044 (projecteuclid.org).
  3. Martin Hairer: Solving the KPZ equation. 2012, arxiv:1109.6811.
  4. Ivan Corwin, Jeremy Quastel und Daniel Remenik: Renormalization Fixed Point of the KPZ Universality Class. In: Springer Science and Business Media LLC (Hrsg.): Journal of Statistical Physics. Band 160, Nr. 4, 2015, S. 815--834, doi:10.1007/s10955-015-1243-8.
  5. Daniel Remenik: Integrable fluctuations in the KPZ universality class. Hrsg.: arXiv. 2022, doi:10.48550/ARXIV.2205.01433.