Kernsatz von Schwartz

mathematischer Satz

Der Kernsatz von Schwartz (oder Satz vom Kern) ist eine wichtige mathematische Aussage im Bereich der Distributionentheorie, welche ein Teilgebiet der Funktionalanalysis ist. Sie wurde von dem Mathematiker Laurent Schwartz im Jahr 1952 bewiesen. Diese Aussage wird jedoch nicht auf Grund ihrer Wichtigkeit Kernsatz genannt, sondern weil es sich um eine Aussage über Integralkerne handelt. Diese hier behandelten Integralkerne werden Schwartz-Kerne genannt.

Einleitung

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Mit jeder Funktion   kann man einen Integraloperator   durch

 

definieren. Das Symbol   bezeichnet die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Außerdem gilt die Identität

 

für alle   und  , wobei   hier als  -Skalarprodukt zu verstehen und das Tensorprodukt zweier Funktionen durch

 

definiert ist. Im Folgenden soll diese Idee auf die Distributionentheorie erweitert werden. Sei dazu also   und  . Außerdem darf   wieder eine Distribution sein.

Kernsatz von Schwartz

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Jede Distribution   definiert eine lineare Abbildung  , welche der Identität

 

genügt und bezüglich der schwach-*-Topologie stetig ist. Das heißt, falls   ein Nullfolge ist, so ist auch   eine Nullfolge in  

Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung   genau eine Distribution  , so dass   gilt.

Diese Distribution   heißt Schwartz-Kern.

Beispiele

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  • Der Identitätsoperator   besitzt als Schwartz-Kern das Dirac-Delta  .

Literatur

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  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).