Khovanov-Homologie

In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.

Konstruktion

Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.

Die Khovanov-Klammer $\left[L\right]$ von Diagrammen $L$ wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt

• Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex $0\to \mathbb {Z} \to 0$.
• $\left[\bigcirc \sqcup L\right]=V\otimes \left[L\right]$.
• Wenn Diagramme dreier Verschlingungen $L_{-1},L_{0},L_{1}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist $\left[L_{0}\right]={\mathcal {F}}(0\to L_{1}\to L_{-1}\left\{1\right\}\to 0)$.

Dabei ist $V$ ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern $q$ und $q^{-1}$ in Graden $1$ und $-1$, $\left\{1\right\}$ steht für Gradverschiebung um $1$, und ${\mathcal {F}}$ macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.

$L_{-1}$	$L_{0}$	$L_{1}$

Die Khovanov-Homologie $L$ ist dann definiert als Homologie von $\left[L\right]\left[-n_{-}\right]\left\{n_{+}-2n_{-}\right\}$, wobei $n_{\pm }$ für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, $\left[.\right]$ für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und $\left\{.\right\}$ wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.

Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.

Eigenschaften

Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper $F_{2}$.

Khovanov-Homologie einer Verschlingung $L$ ist ein $F_{2}$-Vektorraum $Kh(L)$ mit folgenden Eigenschaften:

• Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
• Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt $Kh(L_{1}\sqcup L_{2})=Kh(L_{1})\otimes Kh(L_{2})$, insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu $F_{2}$..
• Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist $F_{2}\oplus F_{2}$.
• Wenn Diagramme dreier Verschlingungen $L_{-1},L_{0},L_{1}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck $Kh(L_{-1})\to Kh(L_{0})\to Kh(L_{1})\to Kh(L_{-1})$.

$L_{-1}$	$L_{0}$	$L_{1}$

Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung

$Kh(L)=\bigoplus _{i,j\in \mathbb {Z} }Kh^{i,j}(L)$,

so dass

• ein Linkkobordismus $\Sigma \colon L_{1}\to L_{2}$ eine Abbildung $Kh(\Sigma )\colon K(L_{1})\to K(L_{2})$ vom Bigrad $(0,\chi (\Sigma ))$ induziert,
• der Erzeuger von $Kh(\emptyset )$ den Bigrad $(0,0)$ und die Erzeuger von $Kh(Unknoten)$ den Bigrad $(1,0)$ und $(0,1)$ haben,
• das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

$\ldots \to Kh^{i,j+1}(L_{-1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i-\omega ,j-1-3\omega }(L_{1})\to Kh^{i+1,j+1}(L_{-1})\to \ldots$

wobei $\omega$ die Anzahl der negativen Überkreuzungen von $L_{1}$ minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von $L_{0}$ ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

$\ldots \to Kh^{i-1,j-1}(L_{-1})\to Kh^{i-1-c,j-2-3c}(L_{1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i,j-1}(L_{1})\to \ldots$

wobei $c$ die Anzahl der negativen Überkreuzungen von $L_{1}$ minus die Anzahl der Überkreuzungen von $L_{0}$ ist.

Positive Überkreuzung	Negative Überkreuzung

Khovanov-Homologie als Kategorifizierung des Jones-Polynoms

Für eine orientierte Verschlingung ist die gradierte Euler-Charakteristik

${\frac {1}{t^{\frac {1}{2}}+t^{-{\frac {1}{2}}}}}\sum _{i,j}(-1)^{i+j+1}t^{\frac {j}{2}}\dim(Kh^{i,j}(L))$

das Jones-Polynom von $L$.

Literatur

• M. Khovanov: A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, 2000.
• Dror Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic & Geometric Topology, 2: 337–370, 2002.

Weblinks

• Khovanov homology (Knot Atlas)