Knödel-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl $n$ eine zusammengesetzte Zahl $m$ mit der Eigenschaft, dass alle zu $m$ teilerfremden $i<m$ die Kongruenz $i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}$ erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von $n$ wird mit $K_{n}$ bezeichnet.

Die Spezialfälle $K_{1}$ sind die Carmichael-Zahlen.

Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl zu $n:=m-\varphi (m)$ . Mit $\varphi (m)$ ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.

Beispiele

Beispiel 1:

Sei $n:=4$ und $m:=12.$

Dann sind die Zahlen $i=1,5,7$ und $11$ zu $m=12$ teilerfremd. Es gilt:

{\begin{aligned}1^{12-4}&=&1&&&\equiv &1{\pmod {12}}\\5^{12-4}&=&390625&=&32552\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\7^{12-4}&=&5764801&=&480400\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\11^{12-4}&=&214358881&=&17863240\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\end{aligned}}

Somit erfüllen alle zu $m=12$ teilerfremden Zahlen $i$ die Kongruenz $i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}$ .

Also ist $m=12$ eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt $12\in K_{4}$ .

Beispiel 2:

Sei $n:=4$ und $m:=14.$

Dann sind die Zahlen $i=1,3,5,9,11$ und $13$ zu $m=14$ teilerfremd. Es gilt:

{\begin{aligned}1^{14-4}&=&1&&&&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\\3^{14-4}&=&59049&=&4217\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\5^{14-4}&=&9765625&=&697544\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\9^{14-4}&=&3486784401&=&249056028\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\11^{14-4}&=&25937424601&=&1852673185\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\13^{14-4}&=&137858491849&=&9847035132\cdot 14&+1&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\end{aligned}}

Somit erfüllen nicht alle zu $m=14$ teilerfremden Zahlen $i$ die Kongruenz $i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}$ .

Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei $i=3$ abbrechnen können. Also ist $m=14$ keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt $14\not \in K_{4}$ .

Beispiel 3:

Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen $K_{1}$ bis $K_{10}$ :

n	K_n
1	{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … }	Folge A002997 in OEIS
2	{4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … }	Folge A050990 in OEIS
3	{9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … }	Folge A033553 in OEIS
4	{6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … }	Folge A050992 in OEIS
5	{25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, … }	Folge A050993 in OEIS
6	{8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, … }	Folge A208154 in OEIS
7	{15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, … }	Folge A208155 in OEIS
8	{12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, … }	Folge A208156 in OEIS
9	{21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, … }	Folge A208157 in OEIS
10	{12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, … }	Folge A208158 in OEIS

Literatur

A. Makowski: Generalization of Morrow’s D-Numbers. 1963, S. 71.
Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag, New York 1989, ISBN 978-0-387-94457-9, S. 101.