Knaster-Kuratowski-Fan

spezieller topologischer Raum

Der Knaster-Kuratowski-Fan ist ein spezieller auf die Mathematiker Bronisław Knaster und Kazimierz Kuratowski zurückgehender topologischer Raum.[1] Die Bezeichnung Fan, auf Deutsch Fächer, bezieht sich auf die geometrische Form als Unterraum der Ebene. Eine andere Bezeichnung ist Cantor-Teepee[2], die in offensichtlicher Weise ebenfalls eine Anspielung auf die geometrische Form ist und gleichzeitig einen Hinweis auf die der Konstruktion zu Grunde liegenden Cantor-Menge beinhaltet. Es handelt sich um einen zusammenhängenden Raum, der nach Entfernung eines Punktes total unzusammenhängend wird.

Knaster-Kuratowski Fan

Konstruktion

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Es sei   die Cantor-Menge, das heißt die Menge aller Punkte, die eine nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Dezimalentwicklung zur Basis 3 besitzen.   sei der Punkt  . Zu jedem   sei   die Strecke, die   mit   verbindet. Für   sei nun

 ,

falls   eine abbrechende, aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Entwicklung zur Basis 3 besitzt, und

 

für alle anderen  . Der Raum

 

mit der von   induzierten Relativtopologie ist der Knaster-Kuratowski-Fan.

Der Unterraum   heißt punktierter Knaster-Kuratowski-Fan.

Eigenschaften

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  • Der Knaster-Kuratowski Fan ist ein separabler, metrischer Raum, denn er ist ein Teilraum von  .
  • Der Knaster-Kuratowski Fan ist zusammenhängend. Ist nämlich   mit disjunkten und offenen Mengen   und  , so muss eine der beiden Mengen   enthalten. Dann kann man zeigen, dass diese Menge schon ganz   sein muss.[3]
  • Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan   ist total unzusammenhängend. Das liegt im Wesentlichen daran, dass man   und   für zwei verschiedene   aus   in   durch eine Gerade trennen kann. Zwischen   und   liegt nämlich ein Punkt   und die Gerade durch   und   leistet das Verlangte. Da jedes   für sich total unzusammenhängend ist, kann man schließen, dass   ist total unzusammenhängend ist.[4]
  • Der Unterraum   ist nicht total separiert.[5] Bekanntlich folgt total unzusammenhängend aus total separiert; wir haben hier also ein Beispiel dafür, dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt.

Einzelnachweise

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  1. B. Knaster, C. Kuratowski: Sur les ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae (1921), Band 2, Seiten 206–255
  2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 129
  3. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.2
  4. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.1
  5. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.3