Koflächenformel

Die Koflächenformel ist ein Formel aus der geometrischen Maßtheorie, welche die Substitutionsregel der Integralrechnung für Lipschitz-stetige Funktionen $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ und $m\geq n$ verallgemeinert. Ein Spezialfall der Koflächenformel ist der Satz von Fubini, diesen erhält man dann, wenn $m>n$ und $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ eine orthogonale Projektion ist. Die analoge Formel für den Fall $n\leq m$ heißt Flächenformel.

Die Koflächenformel wurde 1959 von Herbert Federer publiziert.

Koflächenformel

Notation:

• $m,n\in \mathbb {N}$,
• $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ ist eine Lipschitz-Funktion
• ${\mathcal {H}}^{m}$ ist das $m$-dimensionale Hausdorff-Maß
• ${\mathcal {L}}^{m}$ ist das $m$-dimensionale Lebesgue-Maß
• $J_{n}f$ ist die verallgemeinerte $n$-dimensionale Jacobi-Determinante von $f$, sie ist im Fall $m\geq n$ wie folgt definiert:

$J_{n}f(x)={\sqrt {\operatorname {det} \left[Df(x)Df(x)^{\mathsf {T}}\right]}}.$

Aussage

Falls $m\geq n$, dann gilt

$\int _{A}J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{m-n}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}(y)$

für jede Lebesgue-messbare Menge $A\subseteq \mathbb {R} ^{m}$.

Korollar

Ein Korollar ist folgende Verallgemeinerung: Sei $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{m},{\mathcal {L}}^{m})$, dann ist

$\int _{A}u(x)J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{A\cap f^{-1}(y)}u(x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m-n}(x)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}(y)$

für jede Lebesgue-messbare Menge $A\subseteq \mathbb {R} ^{m}$.

Beispiele

• Sei $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ Lipschitz und $A\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, dann gilt

$\int _{\mathbb {R} ^{m}}|\nabla f(x)|\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{m-1}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} y.$

• (Satz von Fubini): Für $m>n$ ist $\mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}$ und falls $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}\to \mathbb {R} ^{n}$ mit $(x_{1},\dots ,x_{n}\dots ,x_{m})\mapsto (x_{1},\dots ,x_{n})$ eine orthogonale Projektion auf die erste Komponente ist, dann wird die Koflächenformel gerade zum Satz von Fubini.

Literatur

• L.C. Evans und R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Hrsg.: CRC Press. 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6. 
• Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.