Kohomologie mit Koeffizienten

In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.

Definition

Sei

$0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots$

ein Kettenkomplex und $G$ eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in $G$ bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes

$0\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{0},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{1},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{2},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{3},G)\rightarrow \ldots$.

Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum $X$ bezeichnet man mit $H^{*}(X,G)$ die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die singuläre Kohomologie.

Für einen Simplizialkomplex $S$ bezeichnet man mit $H^{*}(S,G)$ die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die simpliziale Kohomologie.

Beispiel

Sei $K$ der Kettenkomplex

$0\to \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \to 0$,

wobei die mittlere Abbildung $f(x)=2x$ und alle anderen Abbildungen konstant $0$ seien. Die Homologiegruppen sind

$H_{0}(K)=\mathbb {Z} ,H_{1}(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H_{2}(K)=0,H_{3}(K)=\mathbb {Z}$.

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in $\mathbb {Z}$ sind

$H^{0}(K)=\mathbb {Z} ,H^{1}(K)=0,H^{2}(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{3}(K)=\mathbb {Z}$.

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ sind

$H^{0}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{1}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{2}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{3}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Berechnung

Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem

$0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X),G)\to H^{n}(X;G)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),G)\to 0$

eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.

Literatur

• A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 0-521-79540-0/pbk) 2002.