In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.

Definition

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Sei

 

ein Kettenkomplex und   eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in   bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes

 .

Für   erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum   bezeichnet man mit   die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in  . Für   erhält man die singuläre Kohomologie.

Für einen Simplizialkomplex   bezeichnet man mit   die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in  . Für   erhält man die simpliziale Kohomologie.

Beispiel

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Sei   der Kettenkomplex

 ,

wobei die mittlere Abbildung   und alle anderen Abbildungen konstant   seien. Die Homologiegruppen sind

 .

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in   sind

 .

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in   sind

 .

Berechnung

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Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem

 

eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.

Literatur

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