Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen Komplements.

Definition

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Es seien   ein Vektorraum über einem Körper  ,   ein Untervektorraum von   und   ein durch die Vektoren   erzeugter Unterraum. Dann heißt die Menge   Komplementärbasis von   in  , falls sie linear unabhängig ist und   gilt,   also die direkte Summe von   und   ist.

  ist also ein komplementärer Unterraum von   und die Vektoren   bilden dazu eine Basis.

Alternative Formulierung

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Seien   Skalare aus  . Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

  1. Lässt sich ein Element   aus der Linearkombination   darstellen, so muss folgen, dass   und alle Koeffizienten   (für  ) sind.
  2. Erzeugen die Vektoren   zusammen mit   den Vektorraum  .

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren   auch linear unabhängig modulo  .)

Eigenschaften

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  • Sei   eine Basis von  . Genau dann ist   eine Komplementärbasis von   in  , wenn   eine Basis von   ist.
Es gilt dann  .
  • Jede Folge, die linear unabhängig modulo   ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von   in   ergänzen.