Komplementärbasis

Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen Komplements.

Definition

Es seien $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, $U$ ein Untervektorraum von $V$ und $W$ ein durch die Vektoren $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\in V$ erzeugter Unterraum. Dann heißt die Menge $(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ Komplementärbasis von $U$ in $V$, falls sie linear unabhängig ist und $V=U\oplus W$ gilt, $V$ also die direkte Summe von $U$ und $W$ ist.

$W$ ist also ein komplementärer Unterraum von $U$ und die Vektoren $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}$ bilden dazu eine Basis.

Alternative Formulierung

Seien $a_{1},\ldots ,a_{n}$ Skalare aus $K$. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Lässt sich ein Element $u\in U$ aus der Linearkombination $a_{1}\cdot \mathbf {w} _{1}+\ ...\ +a_{n}\cdot \mathbf {w} _{n}=u$ darstellen, so muss folgen, dass $u=0$ und alle Koeffizienten $a_{i}=0$ (für $i=1...n$) sind.
2. Erzeugen die Vektoren $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}$ zusammen mit $U$ den Vektorraum $V$.

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}$ auch linear unabhängig modulo $U$.)

Eigenschaften

• Sei $(u_{1},\ldots ,u_{s})$ eine Basis von $U$. Genau dann ist $(v_{1},\ldots ,v_{t})$ eine Komplementärbasis von $U$ in $V$, wenn $(u_{1},\ldots ,u_{s},v_{1},\ldots ,v_{t})$ eine Basis von $V$ ist.

Es gilt dann $t=\dim V-\dim U$.

• Jede Folge, die linear unabhängig modulo $U$ ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von $U$ in $V$ ergänzen.