Zusammenhangskomponente der Eins

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Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.

Definition

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Sei   eine topologische Gruppe mit neutralem Element  . Dann bezeichnet   die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von  , die das neutrale Element enthält.

Eigenschaften

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  •   ist eine abgeschlossene Teilmenge von  .
  •   ist eine charakteristische Untergruppe von   und insbesondere ein Normalteiler.
  • Die Faktorgruppe   ist eine total unzusammenhängende Hausdorffsche topologische Gruppe. Sie wird als Komponentengruppe von   bezeichnet, ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von  .
  • Wenn   lokal wegzusammenhängend (zum Beispiel eine Lie-Gruppe) ist, dann ist   offen.
  • Wenn   offen ist, dann ist   diskret.
  • Wenn   eine algebraische Gruppe ist, dann ist   endlich.

Beispiele

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  • Für die allgemeine lineare Gruppe   ist   die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Die Komponentengruppe   ist isomorph zur zyklischen Gruppe  .
  • Für   ist  .
  • Für eine total unzusammenhängende Gruppe   ist  .

Literatur

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  • Armand Borel: Linear algebraic groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 126. Springer-Verlag, New York, 1991. ISBN 0-387-97370-2
  • Lew Pontrjagin: Topological groups. Translated from the second Russian edition by Arlen Brown Gordon and Breach Science Publishers, Inc., New York-London-Paris, 1966.
  • Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Igor Schafarewitsch: Basic algebraic geometry. Translated from the Russian by K. A. Hirsch. Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. Springer Study Edition. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.
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