Konische Spirale

Eine konische Spirale ist eine Kurve auf einem senkrechten Kreiskegel, deren Grundriss eine ebene Spirale ist. Ist der Grundriss eine logarithmische Spirale, so nennt man sie Concho-Spirale, abgeleitet von Conch (Wasserschnecke).

Konische Spirale mit archimedischer Spirale als Grundriss

Grundriss: fermatsche Spirale

Grundriss: logarithmische Spirale

Grundriss: hyperbolische Spirale

Wie die logarithmische Spirale selbst spielt auch die mit ihr konstruierte Concho-Spirale in der Biologie bei der Modellierung von Schneckenhäusern, beim Insektenflug und in der Technik bei der Konstruktion von breitbandigen Antennen eine Rolle.

Parameterdarstellung

Ist in der $x$-$y$-Ebene durch die Parameterdarstellung

$x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi$

eine ebene Spirale gegeben, so kann man eine dritte Koordinate $z(\varphi )$ so anfügen, dass die dadurch entstehende räumliche Kurve auf dem senkrechten Kreiskegel mit der Gleichung $\;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;$ liegt:

• $x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .$

Kurven dieser Art heißen konische Spiralen und die zur Konstruktion benutzte ebene Spirale ist ihr Grundriss. Sie waren schon Pappos bekannt.

Der Parameter $m$ ist die Steigung der Kegelgeraden gegenüber der $x$-$y$-Ebene.

Die konische Spirale kann man auch als orthogonale Projektion der Grundriss-Spirale auf den Kegelmantel ansehen.

Beispiele

1) Geht man von einer archimedischen Spirale $\;r(\varphi )=a\varphi \;$ aus, erhält man die konische Spirale (siehe Bild)

$x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .$

In diesem Fall kann man die konische Spirale auch als Schnittkurve eines Kegels und einer Wendelfläche auffassen.

2) Das zweite Bild zeigt eine konische Spirale mit einer fermatschen Spirale $\;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;$ als Grundriss.

3) Das dritte Beispiel hat eine logarithmische Spirale $\;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;$ als Grundriss. Sie zeichnet sich durch eine konstante Steigung aus (s. unten).

4) In diesem Beispiel ist der Grundriss eine hyperbolische Spirale $\;r(\varphi )=a/\varphi \;$. Sie besitzt eine Asymptote (schwarze Gerade). Diese Asymptote ist der Grundriss einer Hyperbel (lila), an die sich die konische Spirale für $\varphi \to 0$ annähert.

Eigenschaften

Im Folgenden werden Eigenschaften konischer Spiralen mit Grundrissen der Form $r=a\varphi ^{n}$ bzw. $r=ae^{k\varphi }$ angegeben:

Steigung

Steigungswinkel in einem Punkt einer konischen Spirale

Unter der Steigung einer konischen Spirale versteht man die Steigung der Spirale (Tangente) gegenüber der Horizontalen ($x$-$y$-Ebene). Der zugehörige Steigungswinkel ist $\beta$ (s. Bild):

$\tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .$

Für eine Spirale mit $r=a\varphi ^{n}$ ergibt sich:

• $\tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .$

Für eine archimedische Spirale ist $n=1$ und damit die Steigung $\ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .$

• Für eine logarithmische Spirale mit $r=ae^{k\varphi }$ ist $\ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\$ ($\color {red}{\text{ konstant!}}$ ).

Eine Concho-Spirale heißt deswegen auch gleichwinklige konische Spirale.

Bogenlänge

Die Länge eines Kurvenbogens einer konischen Spirale ist

$L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .$

Für eine archimedische Spirale ist das auftretende Integral, wie im ebenen Fall, mit Hilfe einer Integrationstabelle lösbar.

$L={\frac {a}{2}}{\big [}\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln {\big (}\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}{\big )}{\big ]}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .$

Für eine logarithmische Spirale lässt sich das Integral leicht lösen:

$L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .$

In anderen Fällen können elliptische Integrale auftreten.

Abwicklung

Abwicklung (grün) einer konischen Spirale (rot), rechts: Seitenansicht. Die Abwicklungsebene ist $\pi$. Sie berührt anfangs den Kegel in der lila Geraden.

Für die Abwicklung einer konischen Spirale müssen der Abstand $\rho (\varphi )$ eines Kurvenpunktes $(x,y,z)$ von der Kegelspitze $(0,0,z_{0})$ und die Beziehung zwischen dem Winkel $\varphi$ und dem Winkel $\psi$ in der Abwicklung bestimmt werden:

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,$

$\varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .$

Die Polardarstellung der abgewickelten konischen Spirale ist also:

• $\rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )$

Die Abwicklung im Fall $r=a\varphi ^{n}$ ist in Polardarstellung die Kurve

$\rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},$

eine Spirale vom gleichen Typ. Speziell:

• Ist der Grundriss einer konischen Spirale eine archimedische Spirale, so ist die Abwicklung auch eine archimedische Spirale.

Bei einer hyperbolischen Spirale ($n=-1$) ist die Abwicklung sogar zum Grundriss kongruent.

Im Fall einer logarithmischen Spirale mit $r=ae^{k\varphi }$ ist die Abwicklung die logarithmische Spirale

$\rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .$

Tangentenspur

Konische Spirale mit hyperbolischer Spirale als Grundriss: Tangentenspur (lila Kreis). Die schwarze Gerade ist die Asymptote der hyperbolischen Spirale.

Der Schnitt der Tangenten einer konischen Spirale mit der $x$-$y$-Ebene (Ebene durch die Kegelspitze) nennt man Tangentenspur.

Für die konische Spirale

$(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)$

ist der Tangentenvektor

$(r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}$

und die Tangente:

$x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,$

$y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,$

$z(t)=mr+tmr'\ .$

Der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-$y$-Ebene hat den Parameter $t=-r/r'$ und ist

• $({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0)\ .$

Für $r=a\varphi ^{n}$ ist $\ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\$ und die Tangentenspur wieder eine Spirale, die allerdings im Fall $n=-1$ (hyperbolische Spirale) zu einem Kreis mit Radius $a$ entartet (siehe Bild). Für $r=ae^{k\varphi }$ ist $\ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\$ und die Spur wieder eine zur gegebenen logarithmischen Spirale kongruente Spirale (wegen Selbstähnlichkeit einer logarithmischen Spirale).

Schalen von zwei verschiedenen Meeresschneckenarten: links eine linksgewundene Schale Neptunea angulata, rechts eine rechtsgewundene Schale Neptunea despecta

Weblinks

• Jamnitzer-Galerie: 3D-Spiralen. (Zugriff verweigert).
• Eric W. Weisstein: Conical Spiral. In: MathWorld (englisch).