Eine konstruierbare Menge ist eine spezielle Teilmenge eines topologischen Raumes und damit ein Objekt aus der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik. Konstruierbare Mengen werden vor allem in der algebraischen Geometrie betrachtet.

Definition

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Sei   ein topologischer Raum. Eine Teilmenge   heißt konstruierbar, wenn sie eine endliche Vereinigung von lokal abgeschlossenen Teilmengen ist. Das heißt, es gibt ein  , offene Teilmengen   und abgeschlossene Teilmengen   mit

 .

Eigenschaften

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  • Die konstruierbaren Mengen eines topologischen Raumes bilden eine Boolesche Algebra, das heißt, endliche Schnitte, endliche Vereinigungen und Komplemente konstruierbarer Mengen sind konstruierbar. Diese Boolesche Algebra ist gerade die von den offenen bzw. den abgeschlossenen Mengen erzeugte Boolesche Algebra.[1]
  • Seien   topologische Räume,   eine stetige Abbildung. Dann sind Urbilder   konstruierbarer Teilmengen   unter   wieder konstruierbar.[2]
  • Sei   ein noetherscher topologischer Raum,   eine konstruierbare Teilmenge. Dann gibt es eine Teilmenge  , sodass   eine offene dichte Teilmenge des Abschlusses   ist.[3]
  • Konstruierbare Mengen sind mit Morphismen algebraischer Varietäten verträglich, das heißt: Sind   algebraische Varietäten,   ein Morphismus algebraischer Varietäten und   eine konstruierbare Menge, so ist auch   konstruierbar.[4][5]

Einzelnachweise

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  1. Borel: Linear Algebraic Groups. 1991, Chapter AG, §1, 1.3.
  2. Borel: Linear Algebraic Groups. 1991, Chapter AG, §1, 1.3.
  3. Borel: Linear Algebraic Groups. 1991, Chapter AG, §1, 1.3.
  4. Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 4.4 Constructible Sets, Theorem.
  5. Harris: Algebraic Geometry. A First Course. 1992, Theorem 3.16.

Literatur

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