Konvex-kokompakte Gruppe

In der mathematischen Theorie der Kleinschen Gruppen sind konvex-kokompakte Gruppen eine Verallgemeinerung kokompakter Gitter mit zahlreichen Anwendungen etwa in der Theorie der dynamischen Systeme, der niedrig-dimensionalen Topologie und der harmonischen Analysis.

Sie können nicht nur in der Theorie der Kleinschen Gruppen, sondern auch allgemeiner in der Theorie von diskreten Isometriegruppen nichtpositiv gekrümmter Räume betrachtet werden.

Definition

Eine diskrete Gruppe $\Gamma$ von Isometrien eines CAT(0)-Raumes ${\widetilde {M}}$ (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes $H^{n}$) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von $M=\Gamma \backslash {\widetilde {M}}$ kompakt ist.

Konvex-kokompakte Kleinsche Gruppen

Für Kleinsche Gruppen $\Gamma \subset Isom^{+}(H^{3})=PSL(2,\mathbb {C} )$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• $\Gamma$ ist konvex-kokompakt.
• Jeder Punkt der Limesmenge ist ein konischer Grenzpunkt.
• Jeder Punkt der Limesmenge ist ein horosphärischer Grenzpunkt.
• Die Kleinsche Mannigfaltigkeit $(H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))/\Gamma$ ist kompakt.

Konvex-kokompakte Gruppen in höherem Rang

Sei ${\widetilde {M}}=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Wenn ${\widetilde {M}}$ irreduzibel und vom Rang $\geq 2$ ist, dann sind die kokompakten Gitter die einzigen konvex-kokompakten Untergruppen von $G$.

Bei beliebigen symmetrischen Räumen nichtkompakten Typs ${\widetilde {M}}=G/K$ gibt es zu jeder konvex-kokompakten Untergruppe $\Gamma \subset G$ Zerlegungen $G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}$ und $\Gamma =\Gamma _{1}\times \ldots \times \Gamma _{r}$ mit $\Gamma _{i}\subset G_{i}$ für $i=1,\ldots ,r$, so dass für jedes $i$ entweder $rank(G_{i}/K_{i})=1$ oder $\Gamma _{i}$ ein kokompaktes Gitter in $G_{i}$ ist.

Deshalb werden in der Theorie der symmetrischen Râume höheren Rangs RCA-Gruppen als reichhaltigere Verallgemeinerung konvex-kokompakter Gruppen untersucht.

Literatur

• William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
• Canary, R. D.; Epstein, D. B. A.; Green, P. L.: Notes on notes of Thurston. With a new foreword by Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.