Graph der Sekansfunktion
Graph der Kosekansfunktion
Sekans:
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Kosekans:
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq n\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
−
∞
<
f
(
x
)
≤
−
1
;
1
≤
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)\leq -1\quad ;\quad 1\leq f(x)<+\infty }
Periodenlänge
2
⋅
π
:
f
(
x
+
2
π
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle 2\cdot \pi \,:\,f(x+2\pi )=f(x)}
Sekans:
Achsensymmetrie:
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
Kosekans:
Punktsymmetrie:
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
Sekans:
x
=
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Kosekans:
x
=
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z} }
Sekans:
Minima:
x
=
2
n
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=2n\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Maxima:
x
=
(
2
n
−
1
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=(2n-1)\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
Kosekans:
Minima:
x
=
(
2
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(2n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
Maxima:
x
=
(
2
n
−
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(2n-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \ ;\,n\in \mathbb {Z} }
Beide Funktionen haben keine Nullstellen.
Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.
Beide Funktionen haben Sprungstellen.
Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.
Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode
2
π
{\displaystyle 2\pi }
(entspricht im Gradmaß
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
) sind, reicht es, die Funktionswerte des Sekans für den Bereich
0
≤
x
≤
2
π
;
x
≠
π
2
,
x
≠
3
π
2
{\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi \,;\quad x\neq {\frac {\pi }{2}},x\neq {\frac {3\pi }{2}}}
und die des Kosekans für den Bereich
0
≤
x
≤
2
π
;
x
≠
0
,
x
≠
π
,
x
≠
2
π
{\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi \,;\quad x\neq 0,x\neq \pi ,x\neq 2\pi }
zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang
sec
(
x
)
=
sec
(
x
+
2
k
π
)
und
csc
(
x
)
=
csc
(
x
+
2
k
π
)
{\displaystyle \sec(x)=\sec(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \csc(x)=\csc(x+2k\pi )}
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
sec
(
x
)
=
sec
(
x
+
k
⋅
360
∘
)
und
csc
(
x
)
=
csc
(
x
+
k
⋅
360
∘
)
.
{\displaystyle \sec(x)=\sec(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \csc(x)=\csc(x+k\cdot 360^{\circ })\,.}
Hierbei bezeichnet
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
eine ganze Zahl . Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[ 2]
Winkel (Grad)
Bogenmaß
Sekans
Kosekans
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle 0}
2
4
=
1
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {4}}}=1}
−
{\displaystyle -}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
2
3
=
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
2
1
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {1}}}=2}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
2
2
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}}
2
2
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
2
1
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {1}}}=2}
2
3
=
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
−
{\displaystyle -}
1
2
4
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}
Weitere wichtige Werte sind:
Winkel (Grad)
Bogenmaß
Sekans
Kosekans
15
∘
{\displaystyle 15^{\circ }}
π
12
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
18
∘
{\displaystyle 18^{\circ }}
π
10
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}
1
5
50
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}
1
+
5
{\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}
36
∘
{\displaystyle 36^{\circ }}
π
5
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}
5
−
1
{\displaystyle {\sqrt {5}}-1}
1
5
50
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}
54
∘
{\displaystyle 54^{\circ }}
3
π
10
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}
1
5
50
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}
5
−
1
{\displaystyle {\sqrt {5}}-1}
72
∘
{\displaystyle 72^{\circ }}
2
π
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}
1
+
5
{\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}
1
5
50
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}
75
∘
{\displaystyle 75^{\circ }}
5
π
12
{\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
π
{\displaystyle \pi }
−
1
{\displaystyle -1}
−
{\displaystyle -}
270
∘
{\displaystyle 270^{\circ }}
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}
−
{\displaystyle -}
−
1
{\displaystyle -1}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
1
{\displaystyle 1}
−
{\displaystyle -}
Beweisskizzen:
sec
(
45
∘
)
=
csc
(
45
∘
)
=
2
{\displaystyle \sec(45^{\circ })=\csc(45^{\circ })={\sqrt {2}}}
, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt
1
2
+
1
2
=
x
2
⇒
x
=
2
{\displaystyle 1^{2}+1^{2}=x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {2}}}
.
sec
(
60
∘
)
=
csc
(
30
∘
)
=
2
{\displaystyle \sec(60^{\circ })=\csc(30^{\circ })=2}
, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der
x
{\displaystyle x}
-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Seitenlänge die doppelte Länge der Gegenkathete ist.
sec
(
30
∘
)
=
csc
(
60
∘
)
=
2
3
3
{\displaystyle \sec(30^{\circ })=\csc(60^{\circ })={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
, weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen
sin
(
30
∘
)
=
1
2
{\displaystyle \sin(30^{\circ })={\tfrac {1}{2}}}
für den Sekans nach Pythagoras gilt
(
1
x
)
2
+
(
1
2
)
2
=
1
2
⇒
1
x
2
=
3
4
⇒
x
2
=
4
3
⇒
x
=
2
3
3
{\displaystyle ({\tfrac {1}{x}})^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ {\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {4}{3}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
.
sec
(
72
∘
)
=
csc
(
18
∘
)
=
1
1
4
(
5
−
1
)
=
1
+
5
{\displaystyle \sec(72^{\circ })=\csc(18^{\circ })={\frac {1}{{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)}}=1+{\sqrt {5}}}
, weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
sec
(
36
∘
)
=
csc
(
54
∘
)
=
1
1
4
(
1
+
5
)
=
5
−
1
{\displaystyle \sec(36^{\circ })=\csc(54^{\circ })={\frac {1}{{\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1}
, weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
sec
(
75
∘
)
=
csc
(
15
∘
)
{\displaystyle \sec(75^{\circ })=\csc(15^{\circ })}
und
sec
(
15
∘
)
=
csc
(
75
∘
)
{\displaystyle \sec(15^{\circ })=\csc(75^{\circ })}
lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.
Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare Funktionswerte
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Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte
Weil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die Funktionswerte
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
und
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
genau dann mit Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
und
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
möglich ist.
Generell gilt, dass
csc
α
{\displaystyle \csc \alpha \;}
und
sec
α
{\displaystyle \sec \alpha \;}
genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel
α
{\displaystyle \alpha \;}
mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn
α
{\displaystyle \alpha \;}
von der Gestalt
α
=
k
360
∘
2
n
p
1
…
p
r
{\displaystyle \alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dots p_{r}}}}
ist, wobei
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} \;}
,
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}\;}
und die
p
i
{\displaystyle p_{i}\;}
für
i
=
1
,
…
,
r
{\displaystyle i=1,\dots ,r\;}
Fermatsche Primzahlen sind.[ 3]
Sekans:
sec
(
x
)
=
4
π
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
1
)
2
π
2
−
4
x
2
{\displaystyle \sec(x)=4\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k+1)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}}
Kosekans:
csc
(
x
)
=
1
x
−
2
x
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
2
π
2
−
x
2
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
x
x
2
−
k
2
π
2
{\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}
Mit Hilfe der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaußschen Pifunktion können Sekans und Kosekans wie folgt dargestellt werden:
Sekans:
sec
(
π
x
)
=
4
Π
(
1
2
−
x
)
Π
(
1
2
+
x
)
π
(
1
−
2
x
)
(
1
+
2
x
)
{\displaystyle \sec(\pi \,x)={\frac {4\,\Pi ({\tfrac {1}{2}}-x)\,\Pi ({\tfrac {1}{2}}+x)}{\pi \,(1-2\,x)\,(1+2\,x)}}}
Kosekans:
csc
(
π
x
)
=
Π
(
x
)
Π
(
1
−
x
)
π
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle \csc(\pi \,x)={\frac {\Pi (x)\,\Pi (1-x)}{\pi \,x\,(1-x)}}}
Die Fakultätsfunktion entspricht der Eulerschen Gammafunktion von der Nachfolgerfunktion und kann demnach für alle reellen Zahlen
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
so definiert werden:
x
!
=
Π
(
x
)
=
Γ
(
x
+
1
)
=
exp
(
−
γ
x
)
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
−
1
exp
(
x
n
)
]
{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}
Die nun gezeigte Produktreihe wird Weierstraßsches Produkt genannt und dient der Ermittlung von Sekans und Kosekans mittels Produktentwicklungen.
Mit dem griechischen Buchstaben
γ
{\displaystyle \gamma }
wird die Euler-Mascheroni-Konstante dargestellt.
Sekans:
d
d
x
sec
(
x
)
=
d
d
x
1
cos
(
x
)
=
+
sin
(
x
)
cos
2
(
x
)
=
+
sec
(
x
)
⋅
tan
(
x
)
=
+
sec
2
(
x
)
csc
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\cos(x)}}={\frac {+\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}=+\sec(x)\cdot \tan(x)=+{\frac {\sec ^{2}(x)}{\csc(x)}}}
Kosekans
d
d
x
csc
(
x
)
=
d
d
x
1
sin
(
x
)
=
−
cos
(
x
)
sin
2
(
x
)
=
−
csc
(
x
)
⋅
cot
(
x
)
=
−
csc
2
(
x
)
sec
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\sin(x)}}={\frac {-\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc(x)\cdot \cot(x)=-{\frac {\csc ^{2}(x)}{\sec(x)}}}
Sekans:
∫
sec
(
x
)
d
x
=
ln
|
1
+
sin
(
x
)
cos
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
sec
(
x
)
+
tan
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
tan
(
x
2
+
π
4
)
|
+
C
=
1
2
ln
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|+C=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
Kosekans
∫
csc
(
x
)
d
x
=
ln
|
sin
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
|
+
C
=
ln
|
tan
(
x
2
)
|
+
C
{\displaystyle \int \csc(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C}
Anwendung für numerische Berechnungen – Bedeutung historisch
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Bevor elektronische Rechenmaschinen allgegenwärtig waren, verwendete man für die Winkelfunktionen Tabellen, meist in gedruckten Büchern. Mit einem solchen Funktionswert aus einer Tabelle zu multiplizieren war bequemer und praktischer, als durch so einen Wert zu dividieren (dies gilt übrigens auch für nicht aufgehende Wurzelwerte usw.); wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner steht, ist es bequem, statt dieser Werte die entsprechenden Kosekans- bzw. Sekanswerte in den Zähler zu schreiben.
Dieses Argument ist im Zeitalter der allgemein verfügbaren elektronischen Taschenrechner nur noch von historischer Bedeutung; Sekans und Kosekans sind in den neueren Formelsammlungen nicht mehr erwähnt und auch nicht als Funktionen (mit eigener Taste) in den Rechnern implementiert. Für diesen Zweck sind diese Funktionen schlicht überflüssig geworden; sie lösten ein Problem, das nicht mehr besteht.