Krasnoselski-Genus

Begriff aus der nicht-linearen Analysis

Der Krasnoselski-Genus ist ein Begriff aus der nicht-linearen Analysis und verallgemeinert den Dimensionsbegriff eines Vektorraumes. Der Krasnoselski-Genus eines linearen Raumes ist die kleinste natürliche Zahl , für die es eine stetige ungerade Funktion der Form gibt. Der Krasnoselski-Genus wurde von Mark Krasnoselski eingeführt[1] und 1969 erschien von Charles Coffman eine äquivalente Definition.[2]

Krasnoselski-Genus

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Wir verwendenden die Definition von Coffman.[2]

Sei

  •   ein Banachraum,
  •   der Raum der symmetrischen abgeschlossenen Teilmengen,
  •   der Raum der stetigen Funktionen der Form  .

Für ein   definiere die Menge

 

dann ist der Krasnoselski-Genus von  [3]

 

In anderen Worten ausgedrückt, falls  , dann existiert eine stetige ungerade Funktion   so dass  . Des Weiteren ist   die kleinstmögliche Dimension, das heißt es existiert keine solche Funktion   mit  .

Eigenschaften

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  • Sei   eine beschränkte symmetrische Umgebung von   in  , dann gilt für den Rand  .[4]
  • Seien  , dann gilt[5]
  1. falls ein ungerades   existiert, gilt  ,
  2. falls  , dann gilt  ,
  3. falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen   und   existiert, dann gilt  

Kombiniert man die beiden Aussagen, dann folgt sofort, falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen   und   existiert, dann gilt  .

Literatur

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  • Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 94.
  • Vincenzo Ambrosio: Nonlinear Fractional Schrödinger Equations in R^N. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2021.

Einzelnachweise

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  1. Mark A. Krasnoselski: Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations. Hrsg.: Macmillan. New York 1964.
  2. a b Charles V. Coffman: A minimum-maximum principle for a class of non-linear integral equations. In: J. Analyse Math. Band 22, 1969, S. 391–419.
  3. Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 94.
  4. Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 95.
  5. Vincenzo Ambrosio: Nonlinear Fractional Schrödinger Equations in R^N. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2021, S. 43.