Krasnoselski-Genus

Der Krasnoselski-Genus ist ein Begriff aus der nicht-linearen Analysis und verallgemeinert den Dimensionsbegriff eines Vektorraumes. Der Krasnoselski-Genus eines linearen Raumes $A$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$ , für die es eine stetige ungerade Funktion der Form $f:A\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ gibt. Der Krasnoselski-Genus wurde von Mark Krasnoselski eingeführt^[1] und 1969 erschien von Charles Coffman eine äquivalente Definition.^[2]

Krasnoselski-Genus

Wir verwendenden die Definition von Coffman.^[2]

Sei

$E$ ein Banachraum,
${\mathcal {A}}=\{A\subset E:A{\text{ geschlossen}},A=-A\}$ der Raum der symmetrischen abgeschlossenen Teilmengen,
$C(A,\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der stetigen Funktionen der Form $A\to \mathbb {R} ^{n}$ .

Für ein $A\in {\mathcal {A}}$ definiere die Menge

K_{A}=\{n\in \mathbb {N} :\exists f\in C(A,\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}),-f(x)=f(-x)\}

dann ist der Krasnoselski-Genus von $A$ ^[3]

\gamma (A)={\begin{cases}\inf K_{A}&{\text{falls }}K_{A}\neq \emptyset ,\\\infty &{\text{falls }}K_{A}=\emptyset ,\\0&{\text{falls }}A=\emptyset .\end{cases}}

In anderen Worten ausgedrückt, falls $\gamma (A)=n$ , dann existiert eine stetige ungerade Funktion $\varphi :A\to \mathbb {R} ^{n}$ so dass $0\not \in \varphi (A)$ . Des Weiteren ist $n$ die kleinstmögliche Dimension, das heißt es existiert keine solche Funktion $\theta :A\to \mathbb {R} ^{d}$ mit $d<n$ .

Eigenschaften

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte symmetrische Umgebung von $0$ in $\mathbb {R} ^{n}$ , dann gilt für den Rand $\gamma (\partial \Omega )=n$ .^[4]

Seien $A,B\in {\mathcal {A}}$ , dann gilt^[5]

falls ein ungerades $f\in C(A,B)$ existiert, gilt $\gamma (A)\leq \gamma (B)$ ,
falls $A\subset B$ , dann gilt $\gamma (A)\leq \gamma (B)$ ,
falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen $A$ und $B$ existiert, dann gilt $\gamma (A)=\gamma (B)$

Kombiniert man die beiden Aussagen, dann folgt sofort, falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen $A$ und $\partial \Omega$ existiert, dann gilt $\gamma (A)=n$ .

Literatur

Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 94.
Vincenzo Ambrosio: Nonlinear Fractional Schrödinger Equations in R^N. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2021.

Einzelnachweise

↑ Mark A. Krasnoselski: Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations. Hrsg.: Macmillan. New York 1964.
↑ ^a ^b Charles V. Coffman: A minimum-maximum principle for a class of non-linear integral equations. In: J. Analyse Math. Band 22, 1969, S. 391–419.
↑ Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 94.
↑ Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 95.
↑ Vincenzo Ambrosio: Nonlinear Fractional Schrödinger Equations in R^N. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2021, S. 43.

[1] Mark A. Krasnoselski: Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations. Hrsg.: Macmillan. New York 1964.

[Coffman-2] Charles V. Coffman: A minimum-maximum principle for a class of non-linear integral equations. In: J. Analyse Math. Band 22, 1969, S. 391–419.

[3] Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 94.

[4] Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 95.

[5] Vincenzo Ambrosio: Nonlinear Fractional Schrödinger Equations in R^N. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2021, S. 43.

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