Kraus-Darstellung

Darstellungsform von Quantenkanälen

Die Kraus-Darstellung, benannt nach dem Physiker Karl Kraus, ist eine Darstellung von vollständig positiven Abbildungen, in der die Abbildung als eine Summe einfacherer Abbildungen ausgedrückt wird, was Rechnungen und theoretischen Ableitungen vereinfacht. Der Satz von Kraus besagt, alle vollständig positiven Abbildungen eine Kraus-Darstellung besitzen. In der Physik ist die Kraus-Darstellung wichtig bei der Beschreibung der Dynamik offener Quantensysteme und von Quantenkanälen in der Quanteninformatik.

Definition

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Seien   Hilberträume und sei   eine vollständig positive Abbildung zwischen diesen Hilberträumen. Die Kraus-Darstellung der Abbildung   ist dann gegeben durch[1]

 

wobei   die Kraus-Operatoren sind.

Ist   spurerhaltend, erfüllen die Kraus-Operatoren die Vollständigkeitsrelation:  . Dabei ist   der Identitätsoperator.

Die Krausdarstellung ist nicht eindeutig. Für Abbildungen auf einem endlich-dimensionalen Hilbertraum der Dimension   lässt sich immer eine Kraus-Darstellung mit nicht mehr als   Summanden finden. Die geringste Zahl an Summanden, die nötig ist, um die Abbildung   darzustellen, heißt der Kraus-Rang von  . Der Kraus-Rang ist eine wichtige Charakterisierung von  , der Information über die effektive Größe des Hilbertraums der Umgebung enthält, an die das der Dynamik   unterliegende Quantensystem koppelt.[2]

Motivation

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Im Allgemeinen wird ein quantenmechanischer Zustand über den Dichteoperator   dargestellt. Dieser hat folgende Eigenschaften:

  • Hermitesch:  
  • Normiert:  
  • Positiv-semidefinit:  , bzw.  

Überführt eine Abbildung   einen Dichteoperator   in einen anderen Dichteoperator  , so muss für   Folgendes gelten:

  • Erhaltung der Hermitizität:  
  • Spurerhaltung:  
  • Positivitätserhaltung:  

Spurerhaltung

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Jede Abbildung in Kraus-Darstellung ist spurerhaltend, da

 

Hier wurde ausgenutzt, dass die Spur linear und invariant unter zyklischem Vertauschen der Elemente ist.

Erhaltung der Hermitizität

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Eine Abbildung in Kraus-Darstellung erhält die Hermitizität eines initialen Zustands  , da

 

Positivitätserhaltung

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Die Terme der Form   sind positivitätserhaltend, da ein neuer Zustand   definiert werden kann und folgendes gilt:

 

Damit ist   als Summe positiv-semidefiniter Terme ebenfalls positiv-semidefinit.

Vollständige Positivität

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Positivitätserhaltung genügt jedoch nicht, um   zu einer physikalisch sinnvollen Abbildung zu machen. Die Positivität des Zustands muss auch erhalten bleiben, wenn das System, auf das   wirkt mit einem anderen System, das keiner Dynamik unterliegt („Zuschauersystem“), verschränkt ist. Das heißt, es muss gelten, dass   für alle  . Diese Eigenschaft wird als vollständige Positivität bezeichnet. Nicht alle positivitätserhaltenden Abbildungen sind vollständig positiv (ein Gegenbeispiel ist die Transposition) und nur vollständig positive Abbildungen haben eine Kraus-Darstellung. Es ist offensichtlich, dass jede Abbildung mit Kraus-Darstellung vollständig positiv ist, denn

 

ist für jeden Zustand   (auf dem System „1“ und Zuschauersystem „2“) eine Summe von positiven Termen.

Einzelnachweise

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  1. Angel Rivas, Susana F. Huelga: Open quantum systems. Berlin: Springer, 2012. doi:10.1007/978-3-642-23354-8
  2. Michael M. Wolf: Quantum Channels & Operations. A Guided Tour. 2012, S. 36ff (englisch, tum.de [PDF]).