Kriterium von Mackey

Im mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen ist das Kriterium von Mackey ein von George Mackey aufgestelltes Kriterium, um die Irreduzibilität von induzierten Darstellungen endlicher Gruppen zu überprüfen.

Begriffe und Notation

Zwei Darstellungen $V_{1}$ und $V_{2}$ einer endlichen Gruppe $G$ heißen disjunkt, falls sie keine irreduzible Komponente gemeinsam haben, d. h., falls $\langle V_{1},V_{2}\rangle =0$ für das Skalarprodukt von Charakteren.

Sei $G$ eine Gruppe und sei $H$ eine Untergruppe. Definiere $H_{s}=sHs^{-1}\cap H$ für $s\in G.$
Sei $(\rho ,W)$ eine Darstellung der Untergruppe $H.$ Diese definiert durch Einschränkung eine Darstellung ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )$ von $H_{s}.$ Wir schreiben ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ für ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).$ Außerdem definiert $\rho ^{s}$ eine weitere Darstellung von $H_{s}$ definiert durch $\rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).$ Diese beiden Darstellungen sollten nicht verwechselt werden.

Weiterhin bezeichnen wir mit $Ind_{H}^{G}(W)$ oder $Ind_{H}^{G}(\rho )$ die von der Darstellung $\rho \colon H\to GL(W)$ induzierte Darstellung von $G$.

Mackeys Irreduzibilitätskriterium

Die induzierte Darstellung $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)$ ist genau dann irreduzibel, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• $W$ ist irreduzibel.
• Für jedes $s\in G\setminus H$ sind die zwei Darstellungen $\rho ^{s}$ und ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ von $H_{s}$ disjunkt.

Ein Beweis dieses Satzes findet sich in .

Aus dem Satz erhalten wir direkt folgendes

Korollar

Sei $H$ eine normale Untergruppe von $G.$ Dann ist ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )$ genau dann irreduzibel, wenn $\rho$ irreduzibel und nicht isomorph zu den Konjugaten $\rho ^{s}$ für $s\notin H$ ist.

Beweis

Ist $H$ normal, so gilt $H_{s}=H$ und ${\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho$ und damit folgt die Aussage direkt aus dem Kriterium von Mackey.$\Box$