Kugelausschnitt

Begriff aus der Mathematik

Ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor bezeichnet in der Mathematik einen kegelartigen Ausschnitt vom Mittelpunkt einer Kugel bis zu ihrer Oberfläche. Ein Sonderfall ist die Halbkugel.

Kugelsektor (blau)

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Kugelausschnitts gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet   den Radius der Kugel,   den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und   die Höhe des Kugelsegments.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Der Kugelausschnitt ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus zwei der drei Größen lässt sich die dritte berechnen. In allen Formeln ist − bei ± zu nehmen, wenn der Kugelausschnitt weniger als die halbe Kugel groß ist, sonst + bei ±.

 
 
 
 

Statt   und   reicht auch die Angabe des Winkels   des Basiskreises (siehe Abbildung). Es gilt:

 
 

Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche der Größen gegeben sind.

Größen eines Kugelausschnitts mit dem Radius r der Kugel, dem Radius a des Basiskreises und der Höhe h
Volumen  
 
 
 
Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegels  
 
 
 
Flächeninhalt der Mantelfläche des Kugelsegments  
 
 
 
Oberflächeninhalt  
 
 
 

Sonderfälle

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Für   ist   und der Kugelausschnitt eine Halbkugel:  

Für   ist   und der Kugelausschnitt ist eine ganze Kugel:  

Herleitung

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Zur Herleitung dieser Formeln nimmt man eine Unterteilung in zwei Körper vor: Kegel und Kugelsegment. Der Kegel hat den Grundkreisradius   und die Höhe  .

Das Volumen des Kegels ist

 

Das Kugelsegment hat das Volumen

 

Also ist das Volumen des Kugelsektors

 

Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich  . Einsetzen und Auflösen der Klammern liefert schließlich

 

Eine weitere Möglichkeit das Volumen zu berechnen, bieten Kugelkoordinaten:

 

wobei   der halbe Öffnungswinkel des Kegelteiles ist. Mit   folgt die obige Formel für das Volumen.

Die Mantelfläche des Kegels ist

 

und die Oberfläche des Kugelsegments (ohne Basiskreis) ist

 .

Damit ist die Oberfläche

 

Siehe auch

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Literatur

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  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.