Eine Kugelschicht , auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel , der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.
Für die Berechnung von Volumen , Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln . Dabei bezeichnet
r
{\displaystyle r}
Radius der Kugel,
a
1
,
a
2
{\displaystyle a_{1},a_{2}}
h
{\displaystyle h}
Höhe der Kugelschicht.
Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
h
=
r
2
−
a
2
2
±
r
2
−
a
1
2
{\displaystyle h={\sqrt {r^{2}-a_{2}^{2}}}\pm {\sqrt {r^{2}-a_{1}^{2}}}}
Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.
Der Radius ergibt sich wie folgt:
r
=
1
2
h
(
a
1
2
+
a
2
2
+
h
2
)
2
−
4
a
1
2
a
2
2
=
1
2
h
a
1
4
+
a
2
4
+
h
4
−
2
a
1
2
a
2
2
+
2
a
1
2
h
2
+
2
a
2
2
h
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2h}}{\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}}}={\frac {1}{2h}}{\sqrt {a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+h^{4}-2a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}h^{2}+2a_{2}^{2}h^{2}}}}
Volumen
V
=
π
6
⋅
h
⋅
(
3
⋅
a
1
2
+
3
⋅
a
2
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}
Inhalt der Mantelfläche
M
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
=
2
⋅
π
⋅
h
⋅
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
)
2
{\displaystyle M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h=2\cdot \pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}}
Oberfläche
O
=
M
+
A
Kreis
1
+
A
Kreis
2
=
π
⋅
(
2
⋅
r
⋅
h
+
a
1
2
+
a
2
2
)
=
2
π
⋅
h
⋅
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
)
2
+
π
(
a
1
2
+
a
2
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}O&=M+A_{{\text{Kreis}}\,1}+A_{{\text{Kreis}}\,2}\\&=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\\&=2\pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}+\pi (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\end{aligned}}}
Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei
h
1
{\displaystyle h_{1}}
Höhe von
S
1
{\displaystyle S_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
Volumina der beiden Kugelsegmente sind
V
1
=
π
3
⋅
h
1
2
⋅
(
3
⋅
r
−
h
1
)
{\displaystyle V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1})}
V
2
=
π
3
⋅
h
2
2
⋅
(
3
⋅
r
−
h
2
)
{\displaystyle V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})}
Siehe dazu auch Kugelsegment . Also ist
V
=
V
1
−
V
2
=
π
3
⋅
(
3
⋅
(
h
1
2
−
h
2
2
)
⋅
r
−
(
h
1
3
−
h
2
3
)
)
=
π
3
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
⋅
(
h
1
+
h
2
)
⋅
r
−
(
h
1
2
+
h
1
⋅
h
2
+
h
2
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}}
Mit den Beziehungen
2
⋅
r
⋅
h
1
=
a
1
2
+
h
1
2
,
2
⋅
r
⋅
h
2
=
a
2
2
+
h
2
2
{\displaystyle 2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}}
Kugelsegment ) ergibt sich
V
=
π
3
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
2
⋅
(
a
1
2
+
h
1
2
+
a
2
2
+
h
2
2
)
−
h
1
2
−
h
1
⋅
h
2
−
h
2
2
)
=
π
6
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
⋅
(
a
1
2
+
a
2
2
)
+
(
h
1
−
h
2
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}}
Da
h
=
h
1
−
h
2
{\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}
V
=
π
6
⋅
h
⋅
(
3
⋅
a
1
2
+
3
⋅
a
2
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}
Für die Mantelfläche ergibt sich analog
M
=
M
1
−
M
2
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
1
−
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
2
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
(
h
1
−
h
2
)
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
{\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h}
Für den Beweis der Beziehung zwischen
r
,
a
1
,
a
2
,
h
{\displaystyle r,a_{1},a_{2},h}
d
{\displaystyle d}
Ebene zum Kugelmittelpunkt
M
{\displaystyle M}
r
2
=
d
2
+
a
1
2
,
r
2
=
(
d
+
h
)
2
+
a
2
2
{\displaystyle r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}
Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach
d
{\displaystyle d}
d
=
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
{\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}}
und mit der ersten Gleichung folgt
r
2
=
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
)
2
{\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}
I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2 .
Kleine Enzyklopädie Mathematik , Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7 . 
