Lévy-Konstante

Die nach Paul Lévy benannte Lévy-Konstante oder Lévysche Zahl ist eine mathematische Konstante, die bei der Grenzwertbildung von Kettenbrüchen eine Rolle spielt: Zieht man die $n$-te Wurzel des $n$-ten Nenners $q_{n}$ der Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl $x$, so gibt es bei fast allen $x$ einen Grenzwert, wenn $n$ gegen Unendlich geht:

$\lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma$

Dies zeigte 1935 der sowjetische Mathematiker Aleksandr Khinchin. Im folgenden Jahr fand der französische Mathematiker Paul Lévy eine explizite Darstellung für die Lévysche Konstante, nämlich:

$\gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3{,}275822918721811159787681882\ldots$

Der darin vorkommende Ausdruck

$\beta ={\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}=1{,}1865691104\ldots$

wurde als Khinchin-Lévy-Konstante bezeichnet, wobei die Benennungen nicht einheitlich verwendet werden.

Der doppelte Zehnerlogarithmus der Lévy-Konstante ist gleich dem Grenzwert, der im Satz von Lochs für das Dezimalsystem auftritt.

R. M. Corless zeigte

$\beta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\ln x^{-1}}{(x+1)\ln 2}}\mathrm {d} x$

und setzte die Lévy-Konstante in Verbindung mit der Khinchin-Konstante.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Khinchin–Lévy Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A086702 in OEIS