L-Funktion einer elliptischen Kurve

In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.

Definition

Sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$. Für eine Primzahl $p$ definieren wir den lokalen Faktor $L_{p}(T)$ der L-Reihe in $p$ wie folgt.

Wenn $E$ modulo $p$ gute Reduktion hat, sei $N_{p}$ die Anzahl der Punkte in $E(F_{p})$ und $a_{p}=p+1-N_{p}$. Wir definieren dann

$L_{p}(T)=1-a_{p}T+pT^{2}$.

Weiter definieren wir

$L_{p}(T)=1-T$, wenn $E$ modulo $p$ spaltende semistabile Reduktion hat,

$L_{p}(T)=1+T$, wenn $E$ modulo $p$ nicht-spaltende semistabile Reduktion hat,

$L_{p}(T)=1$, wenn $E$ modulo $p$ instabile Reduktion hat.

Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:

$L(E,s)=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{L_{p}(p^{-s})}}$

Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung $\vert a_{p}\vert \leq 2{\sqrt {p}}$ folgt Konvergenz und Analytizität von $L(E,s)$ für $\operatorname {Re} (s)>{\tfrac {3}{2}}$.

Beispiele

• $y^{2}+y=x^{3}-x^{2}-10x-20$

Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante $-11^{5}$. Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist $p=11$, dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist

$L(E,s)={\frac {1}{1-11^{-s}}}\prod _{p\not =11\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=$

$=1-{\frac {2}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {2}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {2}{6^{s}}}-{\frac {2}{7^{s}}}-{\frac {2}{9^{s}}}-{\frac {2}{10^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\dotsb$.

• $y^{2}=x^{3}-11x^{2}+385$

Die Kurve hat instabile Reduktion in $2$ und $11$, spaltende semistabile Reduktion in $5$ und nicht-spaltende semistabile Reduktion in $7$ und $461$. Damit ist

$L(E,s)=\left((1-5^{-s})(1+7^{-s})(1+461^{-s})\right)^{-1}\prod _{p\not =2,5,7,11,461\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=$

$=1-{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {2}{13^{s}}}-{\frac {2}{15^{s}}}-{\frac {5}{17^{s}}}+{\frac {2}{21^{s}}}+\dotsb$.

Dirichlet-Entwicklung

Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe:

$L(E,s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$,

wobei die Fourier-Koeffizienten $a_{n}$ wie folgt berechnet werden:

• $a_{1}=1$.
• Für eine Primzahl $p$ ist
  • $a_{p}=p+1-N_{p}$, wenn $E$ gute Reduktion in $p$ hat,
  • $a_{p}=1$, wenn $E$ spaltende semistabile Reduktion in $p$ hat,
  • $a_{p}=-1$, wenn $E$ nicht-spaltende semistabile Reduktion in $p$ hat,
  • $a_{p}=0$, wenn $E$ instabile Reduktion in $p$ hat.
• Für eine Primzahlpotenz $p^{r}$ ist im Falle guter Reduktion modulo $p$ der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch $a_{p}\cdot a_{p^{r}}=a_{p^{r+1}}+p\cdot a_{p^{r-1}}$, während im Falle schlechter Reduktion $a_{p^{r}}=(a_{p})^{r}$ gilt.
• Für teilerfremde Zahlen $m,n$ gilt $a_{mn}=a_{m}a_{n}$.

Funktionalgleichung

Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit

$\Lambda (E,s):=N^{s/2}(2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(E,s)$

für den Führer $N$ und die Gamma-Funktion $\Gamma (s)$ eine Funktionalgleichung

$\Lambda (E,s)=\operatorname {sign} (E,\mathbb {Q} )\Lambda (E,2-s)$

mit $\operatorname {sign} (E,\mathbb {Q} )\in \left\{1,-1\right\}$. Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde $\operatorname {sign} (E,\mathbb {Q} )=(-1)^{\operatorname {rang} (E/\mathbb {Q} )}$ folgen.

Literatur

• A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. American Mathematical Society (AMS), Providence, RI 2011, ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk.