Laminierung (Mathematik)

Verallgemeinerung der Blätterung in der Differentialtopologie

In der Mathematik verallgemeinern Laminierungen den topologischen Begriff der Blätterung.

Laminierungen sind von Bedeutung in der komplexen Dynamik, insbesondere in der Iterationstheorie quadratischer Abbildungen.

Laminierungen eines topologischen Raumes

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Es sei   ein Hausdorff-Raum. Eine Laminierung ist gegeben durch eine offene Überdeckung   und Homöomorphismen

 ,

wobei   eine offene Teilmenge eines   und   ein beliebiger topologischer Raum ist.

 
Eine Laminierung der Kreisscheibe. Die Ränder der Blätter bilden eine Laminierung des Kreises.

Laminierungen von Mannigfaltigkeiten

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Es sei   eine Mannigfaltigkeit. Eine  -dimensionale Laminierung von   ist eine Zerlegung einer abgeschlossenen Teilmenge von   in zusammenhängende Untermannigfaltigkeiten gleicher Dimension   (die Blätter der Laminierung), so dass es eine Überdeckung von   durch Karten homöomorph zu   gibt, in der die Durchschnitte der Blätter mit den Karten den Hyperebenen   für jeweils ein   entsprechen.

Laminierungen des Kreises

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Eine etwas abweichende Terminologie verwendet man in der Theorie dynamischer Systeme, wenn es um Laminierungen des Kreises geht. In diesem Fall sollen die Blätter nicht zusammenhängend, sondern Paare von Punkten sein, wobei unterschiedliche Punktpaare jeweils nicht verschlungen sein dürfen. (D.h. wenn   ein Blatt und   ein anderes Blatt ist, dann müssen   und   beide in derselben Zusammenhangskomponente von   liegen.)

Wenn man sich den Kreis als Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene denkt, entsprechen die Laminierungen des Kreises also genau den geodätischen Laminierungen der hyperbolischen Ebene. (Die Ränder zweier Geodäten sind genau dann unverschlungen, wenn die beiden Geodäten disjunkt sind.)

Anwendungen

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Spezielle Klassen von Laminierungen sind von Bedeutung in der niedrig-dimensionalen Topologie und Dynamik.

Literatur

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