Siegel-Nullstelle

Die Siegel-Nullstelle (auch Landau-Siegel-Nullstelle) bezeichnet in der analytischen Zahlentheorie ein potentielles Gegenbeispiel, um die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung zu widerlegen. Diese Vermutung weitet die klassische Riemannsche Vermutung auf Dirichletsche L-Funktionen aus. Es handelt sich um eine hypothetische Nullstelle einer L-Funktion $L(s,\chi _{q})$ in der Nähe des Wertes $s=1$. Für eine L-Funktion kann es höchstens eine Siegel-Nullstelle geben.

Die Existenz von Siegel-Nullstellen hat einige Konsequenzen. So gilt nach einem Satz von Roger Heath-Brown, dass die Existenz von unendlich vielen Siegel-Nullstellen (für verschiedene L-Funktionen) die Primzahlzwillingsvermutung impliziert. Die Primzahlzwillings-Vermutung geht dahin, dass unendlich viele Zahlenpaare $(p,p+2)$ existieren, deren beide Komponenten prim sind.

Die Landau-Siegel-Nullstelle ist nach den deutschen Mathematikern Carl Ludwig Siegel und Edmund Landau benannt.

Grundbegriffe

Dirichlet-Charakter

Als Dirichlet-Charakter (mod $q$) für ein $q\in \mathbb {N}$ bezeichnet man eine komplexe Funktion $\chi _{q}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}$, wenn sie für alle $a,b\in \mathbb {Z}$ folgende Eigenschaften erfüllt

1) $\chi _{q}(ab)=\chi _{q}(a)\chi _{q}(b)$.

2) $\chi _{q}(a)=0$ falls $\operatorname {ggt} (a,q)>1$.

3) $\chi _{q}(a)\neq 0$ falls $\operatorname {ggt} (a,q)=1$.

4) $\chi _{q}(a+q)=\chi _{q}(a)$.

Reeller und komplexer Dirichlet-Charakter

Ein Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ heißt reell (oder quadratisch) falls alle seine Werte $\chi _{q}(a)$ reell sind oder äquivalent falls er gleich seiner komplex Konjugierten ist

$\chi _{q}(a)={\overline {\chi _{q}(a)}}.$

Ansonsten ist er komplex oder nicht-reell.

Dirichletsche L-Funktion

Eine Dirichletsche L-Funktion ist für ein $s\in \mathbb {C}$ und einen Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ die Funktion

$L(s,\chi _{q})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{q}(n)}{n^{s}}}.$

Nullstellen

Die Nullstellen $s_{\chi _{q}}=\sigma _{\chi _{q}}+it_{\chi _{q}}$ der Dirichletschen L-Funktion $L(s,\chi _{q})$ werden in triviale und nicht-triviale Nullstellen aufgeteilt. Die trivialen Nullstellen sind alle negativ und die nicht-trivialen befinden sich im kritischen Streifen

$\{s_{\chi }\in \mathbb {C} \colon 0<\sigma _{\chi _{q}}<1\}.$

Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung nimmt an, dass für alle nicht-trivialen Nullstellen $\sigma _{\chi _{q}}={\tfrac {1}{2}}$ gilt.

Definition

Notation:

• $s=\sigma +it$ bezeichnet eine komplexe Zahl.
• $\chi _{q}$ ist ein Dirichlet-Charakter.
• $L(s,\chi _{q})$ ist eine zu $\chi _{q}$ gehörende L-Funktion.

Definition:

Zentral für die Definition ist folgendes Theorem (welches in unterschiedlichen Varianten von Landau, Grönwall und Titchmarsh stammt, siehe )

I) Falls $\chi _{q}$ komplex ist, dann existiert eine (effektiv-berechenbare) reelle Konstante $c_{0}>0$, so dass

$L(s,\chi _{q})\neq 0$

in der Region

$R={\bigg \{}\sigma \;{\bigg |}\;1-{\frac {c_{0}}{\log(q(|t|+2))}}\leq \sigma <1{\bigg \}}$

ist.

II) Falls $\chi _{q}$ reell ist, so kann es höchstens ein $s$ mit $L(s,\chi _{q})=0$ in der Region $R$ geben. Weiter muss diese Nullstelle $s$ reell sein, d. h. $t=0$.

Ein solches $s$ für den Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ nennt man Siegel-Nullstelle oder außergewöhnliche Nullstelle.

Eigenschaften

Die Siegel-Nullstelle $\beta$ hängt vom gewählten Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ ab.

Satz von Siegel

Sei $\beta$ eine Siegel-Nullstelle für einen primitiven Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ mit Leiter (englisch conductor) $k$ (d. h. $k>0$). Für $\varepsilon >0$ existiert eine Konstante $c(\varepsilon )>0$, so dass

$1-\beta \geq {\frac {c(\varepsilon )}{k^{\varepsilon }}}.$

Sätze von Heath-Brown

Von Heath-Brown stammen folgende Aussagen über die Siegel-Nullstellen und die Primzahlzwillingsvermutung.

Satz 1

Sei $\chi _{q}$ ein reeller, primitiver Dirichlet-Charakter und $\beta$ eine Siegel-Nullstelle und

$\beta >1-{\frac {1}{3\log q}}.$

Falls unendlich viele solche $\{(\chi _{q_{i}}^{(i)},\beta _{i})\}$ existieren, dann existieren unendlich viele Primzahlzwillinge.

Satz 2

Mindestens eine der beiden Aussagen ist wahr:

1. Es existieren keine Siegel-Nullstellen, d. h. es existiert eine gemeinsame Schranke $c_{0}>0$, so dass für alle $q\geq 2$ und alle $\chi _{q}$ gilt $L(\sigma +it,\chi _{q})\neq 0$ für

$\sigma \geq 1-{\frac {c_{0}}{\log(q|t|+2))}}.$

1. Die Primzahlzwillingsvermutung ist wahr.

Deuring-Heilbronns Repulsions-Phänomen

Sei $\mathrm {X} (q):=\{\chi _{q}^{(i)}\}$ die Familie aller Dirichlet-Charaktere zum Modulus $q$. Die Existenz einer Siegel-Nullstelle zu einem Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ hat Auswirkungen auf die anderen Nullstellen innerhalb der gleichen Familie $\mathrm {X} (q)$. Dieses Phänomen ist nach Max Deuring und Hans Arnold Heilbronn benannt. Es wurde quantifiziert von Juri Wladimirowitsch Linnik durch nachfolgendes Theorem.

Linniks Repulsions-Theorem

Falls eine Siegel-Nullstelle $\beta$ zu einem Dirichlet-Charakter $\chi _{q}$ existiert, so dass

$1-\beta ={\frac {\varepsilon }{\log(q)}}$

für ein hinreichend kleines $\varepsilon$ gilt, dann sind alle anderen Nullstellen $s=\sigma +it$ der Familie $\mathrm {X} (q)$ in der Region

$1-\sigma \geq c{\frac {\log({\tfrac {1}{\varepsilon }})}{\log(q(|t|+2))}}$

für eine (effektiv-berechenbare) positive Konstante $c$.

Literatur

• D. R. Heath-Brown: Prime Twins and Siegel Zeros. In: London Mathematical Society (Hrsg.): Proceedings of the London Mathematical Society. s3-47, Ausgabe, 1983. 
• Thomas Wright: Prime Tuples and Siegel Zeros. Hrsg.: arXiv. 2021, doi:10.48550/ARXIV.2111.14054.