Legendre-Filter

kontinuierliche Frequenzfilter

Legendre-Filter, auch als Optimum-L-Filter bezeichnet, sind kontinuierliche Frequenzfilter deren Übertragungsfunktion auf den namensgebenden Legendre-Polynomen aufbaut. Legendre-Filter wurden 1958 von dem griechischen Mathematiker Athanasios Papoulis vorgestellt.[1]

Legendre-Filter stellen einen Kompromiss zwischen dem Butterworth-Filter und dem Tschebyscheff-Filter dar: Der Betragsfrequenzverlauf ist steiler als bei Butterworth-Filter und besitzt im Gegensatz zu den Tschebyscheff-Filter im Sperr- und im Durchlassbereich einen monotonen Verlauf.

Übertragungsfunktion

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Vergleich des Betragsverlaufes zwischen Butterworth-, Legendre- und Tschebyscheff-Typ-1-Filter

Der quadrierte Betragsfrequenzverlauf für die Filterordnung   ist gegeben durch

 

mit dem modifizierten  -ten Optimal-Polynom  , welches sich durch die Erfüllung mehrerer spezieller Kriterien auszeichnet, die die gewünschten Eigenschaften Monotonie der Übertragungsfunktion und gleichzeitig maximale Steilheit im Sperrbereich sicherstellen. Dies sind die Nebenbedingungen[2]

 
 

und die Forderung nach monotonem Anstieg

 

Hauptbedingung ist die Forderung nach maximaler Steilheit im Sperrbereich, z. B. ab  :

 

Herleitung

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Für   linear unabhängige Polynome   des Grades  , im einfachsten Falle  , lässt sich mit indirekter Erfüllung der (Gl. 3) ein Ansatz für das gesuchte optimale Polynom bilden:

 

mit   unbekannten Koeffizienten  . Da der Integrand ein gerades Polynom ist, ist   ungerade mit  . Um ein gerades   mit   zu erhalten, bietet sich folgendes an:

 

Beide Ansätze erfüllen automatisch die Bedingungen aus (Gl. 1) und (Gl. 3), da   in (Gl. 5-2) immer positiv ist. Für die gewählten Basispolynome lässt sich beispielsweise (Gl. 5-1) auflösen und in (Gl. 2) überführen

 

Dies ist eine quadratische Gleichung in den Koeffizienten  , die nach einem Koeffizienten, am einfachsten nach  , aufgelöst werden kann. Eingesetzt in (Gl. 5-1) verbleiben noch   unbekannte Koeffizienten, die in   nichtlinearen Gleichungen aus den partiellen Ableitungen von (Gl. 4) gelöst werden können. Mit dem geraden Ansatz in (Gl. 5-2) ist analog zu verfahren.

Für allgemeine Polynome   ist das resultierende Gleichungssystem für   nur noch schwer analytisch zu lösen. Der Ansatz von (Gl. 5) legt jedoch nahe, die Legendre-Polynome   der 1. Art als Basis zu verwenden, in der Erwartung, dass viele Teilintegrale verschwinden und sich die Herleitung vereinfacht. Dieses stellte Papoulis 1958 für (Gl. 5-1) in seiner ersten Arbeit[1] vor. Dazu müssen jedoch die Integralgrenzen an die Eigenschaften der Legendre-Polynome angepasst und skaliert werden, so dass sich folgende Gleichung ergibt:

 

Damit vereinfacht sich die (Gl. 2), beziehungsweise (Gl. 6), erheblich zu

 

Für   erhält man so

 

Zur Bestimmung des Maximums in (Gl. 4) wird die partielle Ableitung von   nach den noch unbekannten Koeffizienten   mit   benötigt:

 

Beachte: Für die innere Ableitung liefert nur der Summand mit dem Index   einen Beitrag, weil alle andere Summanden von   unabhängig sind.   ist identisch mit dem Wurzelausdruck in (Gl. 9), wird aber zur einfacheren Darstellung im Weiteren wie ein konstanter Parameter mitgeführt, auf den sich die Lösung der unbekannten   beziehen soll. Anschließend wird   so bestimmt, dass (Gl. 8) oder (Gl. 2) erfüllt sind.

Bei der Bildung der linken Seite von (Gl. 4) ist die folgende Erkenntnis wichtig. Für alle   und   ergibt sich die Identität:

 

Damit wird (Gl. 4) zu

 

Notwendige Bedingung für ein Maximum ist, dass alle partiellen Ableitungen der linken Seite von (Gl. 11) nach den unbekannten Koeffizienten   Null sind. Dabei ist zu berücksichtigen, dass   ebenfalls von allen   gemäß (Gl. 8) und (Gl. 9) abhängt

 

Bemerkung: Nur die zwei Summanden   und   sind von   abhängig.

Die Summe ist nur null, wenn   und alle   sind, was aber ausgeschlossen ist, da dann   und auch (Gl. 8) verletzt wäre. Also muss der Klammerausdruck null sein und die Lösung enthalten

 

Eingesetzt in (Gl. 8) ergibt sich

 

oder

 

für

 

Mit (Gl. 13) ergibt sich für alle Koeffizienten  

Für gerade   nach (Gl. 5-2) veröffentlichte Papoulis eine analoge Lösung.[3] Nach der Skalierung auf die geeigneteren Intervallgrenzen gilt dann

 

Analog zu der hilfreichen Identität aus (Gl. 10) gilt für gerade  

 

Die Koeffizienten lauten:

 

Fazit

Als Basis für das optimale Polynom   ist die Verwendung der namensgebenden Legendre-Polynome nicht zwingend notwendig. Jede andere linear unabhängige, polynomiale Basis   führt zum selben Ergebnis, die analytische Herleitung ist aber wesentlich schwieriger, wenn nicht sogar unmöglich. Um die ohnehin mühsame und fehleranfällige Auflösung von (Gl. 7) und (Gl. 16) etwas zu vereinfachen, lassen sich die Nenner der   respektive   als Faktoren vor das Integral stellen. Das führt zu

 

respektive

 

mit  

Ergebnis

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Für die Filterordnung   von 1 bis 6 lauten die Optimal-Polynome   des Filters:[2][4]

   
1  
2  
3  
4  
5  
6  

Weitere Polynome bis zu 10. Ordnung sind in den genannten Quellen zu finden.

Literatur

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  • Franklin F. Kuo: Network Analysis and Synthesis. 2. Auflage. Wiley, 1966, ISBN 0-471-51118-8.

Einzelnachweise

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  1. a b Athanasios Papoulis: Optimum Filters with Monotonic Response. Band 46, Nr. 3. Proceedings to the IRE, März 1958, S. 606 bis 609.
  2. a b Notes on “L” (Optimal) Filters by C. Bond. (PDF; 172 kB) 2011, abgerufen am 31. August 2012.
  3. Athanasios Papoulis: On Monotonic Response Filters. Band 47. Proceedings to the IRE, 1959, S. 332 bis 333.
  4. Optimum “L” Filters Polynomials, Poles and Circuit Elements. (PDF; 100 kB) 2004, abgerufen am 31. August 2012.