Lemma von Bramble-Hilbert

In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion $u$ durch ein Polynom der maximalen Ordnung $m-1$ mit Hilfe der Ableitungen $m$-ter Ordnung von $u$ ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von $u$ werden durch $L^{p}$-Normen auf einem beschränkten Gebiet im $\mathbb {R} ^{n}$ gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von $u$ bei linearer Interpolation von $u$. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von $u$ können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten $L^{p}$-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und $C^{1}$-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur $m$-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens $m-1$ erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei $\textstyle \Omega$ ein beschränktes Gebiet im $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ mit Lipschitz-Rand und Durchmesser $\textstyle d$. Weiter sei $m\in \mathbb {N}$ beliebig und $k\in \{0,\ldots ,m\}$.

Auf dem Sobolew-Raum $W_{p}^{k}(\Omega )$, verwendet man die Halbnorm

$|u|_{W_{p}^{k}(\Omega )}:=\left(\sum \limits _{|\alpha |=k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem $u\in W_{p}^{m}(\Omega )$ ein Polynom $v$ existiert, dessen Grad höchstens $m-1$ beträgt, so dass die Ungleichung

$|u-v|_{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}|u|_{W_{p}^{m}(\Omega )}$

mit einer Konstanten $C=C(m,\Omega )$ erfüllt ist.

Weblinks

• Raytcho D. Lazarov: Bramble-Hilbert lemma. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).