Leray-Schauder-Alternative

mathematischer Satz

Die Leray-Schauder-Alternative ist eine mathematische Aussage aus dem Bereich der nichtlinearen Funktionalanalysis.

Sie wurde von den Mathematikern Jean Leray und Juliusz Schauder bewiesen und nach ihnen benannt. Die Leray-Schauder-Alternative gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Fixpunktes. Die zentrale Bedingung der Aussage trägt einen eigenständigen Namen und wird Leray-Schauder-Randbedingung genannt. Der Satz hat zahlreiche Korollare, die schon vor Entdeckung der Leray-Schauder-Alternative bekannt waren und eigenständige Bedeutung haben.

Leray-Schauder-Randbedingung

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Sei   ein normierter Raum. Die stetige Abbildung   erfüllt die Leray-Schauder-Randbedingung, falls ein   existiert, so dass aus   die Ungleichheit   für alle   folgt.

Leray-Schauder-Alternative

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Sei   ein normierter Raum und   eine kompakte Abbildung, die der Leray-Schauder-Randbedingung genügt, dann hat   mindestens einen Fixpunkt.

Die Aussage trägt die Bezeichnung Alternative, weil entweder die Gleichung   für ein   oder die Gleichung   eine Lösung hat. Jedoch bietet der Satz keine notwendigen Bedingungen, daher können für bestimmte   auch beide Gleichungen erfüllt sein. Das zentrale Hilfsmittel für den Beweis des Satzes ist der Leray-Schauder-Abbildungsgrad.

Spezialfälle

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In diesem Abschnitt werden hinreichende Bedingungen für Fixpunkte aufgeführt, die von Altman, Krasnoselskii und anderen bewiesen wurden und als Spezialfälle der Leray-Schauder-Alternative verstanden werden können. Im Folgenden sei   normierter Raum,   eine stetige Funktion und   eine Kugel mit Radius  .

Satz von Altman

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Sei   und gelte

 

dann hat   mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1957 von Altman bewiesen.

Satz von Petryshyn

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Sei   und gelte

 

dann hat   mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1963 von Volodymyr Petryshyn bewiesen.

Satz von Krasnoselskii

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Sei   ein Prähilbertraum,   und gelte

 

dann hat   mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde von Mark Krasnosel'skii im Jahr 1953 gezeigt. Sie kann als Spezialfall der Aussage von Altman für Prähilberträume verstanden werden.

Satz von Rothe

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Sei   und gelte

 

dann hat   mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1937 von Rothe bewiesen.

  • Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 204.
  • Robert F. Brown: A topological introduction to nonlinear analysis. Birkhäuser 2004, ISBN 0817632581, Seite 27.
  • Vasile I. Istratescu: Fixed Point Theory an Introduction. Springer Science & Business 2001, ISBN 9027712247, Seite 166.