Einheits-Tangentialbündel

In der Mathematik bezeichnet das Einheits-Tangentialbündel den Raum aller Tangentialvektoren der Länge 1 zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit, zum Beispiel zu einer Fläche im $\mathbb {R} ^{3}$. Der Begriff spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition

Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $TM$ ihr Tangentialbündel. Das Einheits-Tangentialbündel ist

$T^{1}M:=\coprod _{x\in M}\left\{v\in T_{x}(M)\left|g(v,v)=1\right.\right\}.$

In der englischsprachigen Literatur wird das Einheits-Tangentialbündel häufig auch mit $UTM$ bezeichnet.

Topologische Eigenschaften

Das Einheits-Tangentialbündel $T^{1}M$ ist ein Sphärenbündel über $M$ also insbesondere auch ein Faserbündel. Die Fasern sind $(n-1)$-dimensionale Sphären für $n=\dim(M)$.

$T^{1}M$ ist eine $(2n-1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Sie ist genau dann kompakt, wenn $M$ kompakt ist.

Beispiele

• $T^{1}S^{2}$ ist diffeomorph zu $\mathbb {R} P^{3}=SO(3)$.
• $T^{1}T^{2}$ ist diffeomorph zum 3-Torus.

Liouville-Maß

Auf $T^{1}M$ ist eine kanonische 1-Form $\theta$ definiert durch

$\theta _{u}(v)=g(u,\pi _{*}v)\ \forall \ u\in T^{1}M,v\in T_{u}(T^{1}M),$

wobei $\pi \colon T^{1}M\to M$ die Projektion bezeichnet.

Die $(2n-1)$-Form $\theta \wedge (d\theta )^{n-1}$ ist eine Volumenform und definiert ein Maß auf $T^{1}M$, das Liouville-Maß.

$T^{1}M$ und das Liouville-Maß sind invariant unter dem geodätischen Fluss.

Literatur

• Jeffrey M. Lee: Manifolds and Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, American Mathematical Society, Providence (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
• Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X