Geodätischer Fluss

mathematisches Problem

In Mathematik und Physik beschreibt der geodätische Fluss eine Bewegung entlang kürzester Verbindungsstrecken (Geodäten). Weil Geodäten nicht nur von ihrem Ausgangspunkt, sondern auch von ihrer Ausgangsrichtung abhängen, kann der geodätische Fluss nur auf dem Tangentialbündel definiert werden.

Definition

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Es sei   eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Tangentialbündel  . Nach dem Satz von Hopf-Rinow gibt es für jeden Tangentialvektor   eine eindeutige Geodäte

 

mit

 .

Wir definieren nun

 

durch

 .

Dies definiert einen Fluss auf  , d. h. es gilt   und  .

Häufig wird auch die Einschränkung des geodätischen Flusses auf das Einheitstangentialbündel   als geodätischer Fluss bezeichnet.

Geodätischer Fluss als Hamiltonscher Fluss

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Der geodätische Fluss ist der Hamiltonsche Fluss der in lokalen Koordinaten durch

  gegebenen Hamilton-Funktion
 .

Hierbei bezeichnet   die Einträge der zur Riemannschen Metrik   inversen Matrix.

Die Eulerschen Gleichungen für die Bewegung eines starren Körpers lassen sich interpretieren als geodätischer Fluss auf der Lie-Gruppe  .

Die Eulerschen Gleichungen zur Fluiddynamik eines inviskosen inkompressiblen Flusses lassen sich interpretieren als geodätischer Fluss auf der unendlich-dimensionalen Lie-Gruppe   der maßerhaltenden Abbildungen.

Beide Interpretationen gehen auf Wladimir Arnold zurück.[1]

Geodätischer Fluss auf Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung

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Im Folgenden sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung.

Maßtheorie

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Der geodätische Fluss erhält das Liouville-Maß. Wenn   kompakt ist, dann ist der geodätische Fluss ergodisch.[2][3] Weiterhin ist er in diesem Fall exponentiell mischend, hat positive Entropie, dichte Orbiten, die Menge der periodischen Orbiten ist dicht und es gibt unendlich viele (linear unabhängige) invariante Maße.

Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten

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Wenn   strikt negative Schnittkrümmung hat (und auch noch unter schwächeren Voraussetzungen) ist der geodätische Fluss ein Anosov-Fluss.

Beziehung zur Dynamik der Sphäre im Unendlichen

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Wenn   nichtpositive Schnittkrümmung hat und der geodätische Fluss nicht-wandernd ist, dann hat die Wirkung von   auf der Sphäre im Unendlichen   genau dann dichte Orbiten, wenn der geodätische Fluss auf dem Einheitstangentialbündel dichte Orbiten hat.

Beispiel: Hyperbolische Ebene

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Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in rot) und ein zugehöriger Horozykel (in blau).

Es sei   die hyperbolische Ebene und   ihr Einheitstangentialbündel. Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien

 

auf   induziert eine Bijektion zwischen   und  . Wir betrachten die Wirkung von   auf   als Links-Wirkung. Dann entspricht der geodätische Fluss   der Rechts-Wirkung von   auf  . Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses sind die Einschränkungen des Einheitstangentialbündels auf die Horozykel, algebraisch lassen sie sich beschreiben als die Nebenklassen von   bzw.  .

Literatur

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  • Patrick Eberlein: Geodesic flows in manifolds of nonpositive curvature. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band 69, 2001, S. 525–571. (citeseerx.ist.psu.edu; PDF)
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Einzelnachweise

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  1. V. Arnold: Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits. In: Ann. Inst. Fourier. (Grenoble). Band 16, Nr. 1, 1966, S. 319–361.
  2. D. V. Anosov: Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curvature. In: Trudy Mat. Inst. Steklov. Volume 90, 1967, S. 3–210. (online)
  3. W. Ballmann, M. Brin: On the ergodicity of geodesic flows. In: Erg. Th. Dyn. Syst. 2, 1982, S. 311–315.