Lippmann-Schwinger-Gleichung

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung (nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger) verwendet man in der quantenmechanischen Störungstheorie und speziell in der Streutheorie. Sie hat die Form einer Integralgleichung für die gesuchte Wellenfunktion $\psi$ und ist eine Alternative zur direkten Lösung der Schrödingergleichung, wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken.

In der quantenmechanischen Störungstheorie

Allgemein wird in der Störungstheorie der Hamiltonoperator $H$ zerlegt in den „freien Hamiltonoperator“ $H_{0}$, zu dem eine Lösung bekannt ist, und einen als kleine Störung behandelten Teil (Potential) $V$:

$H=H_{0}+V$

Eigenfunktionen $|\phi _{0}\rangle$ des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung

$\left(E-H_{0}\right)|\phi _{0}\rangle =0$

wobei $E$ der zugehörige Eigenwert ist.

Als „freie Greensche Funktion“ bezeichnet man einen Operator $G_{0}$, für den gilt:

$G_{0}\left(E-H_{0}\right)|\phi _{0}\rangle =|\phi _{0}\rangle$

Dieser Operator ist also gewissermaßen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von $G_{0}$ als Distribution.

Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen $|\psi \rangle$ des vollständigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion $G$ definiert.

Damit gilt die Lippmann-Schwinger-Gleichung:

$|\psi \rangle =|\phi _{0}\rangle +G_{0}V|\psi \rangle$

Diese Gleichung wird üblicherweise iterativ gelöst, wobei die Beschränkung auf die erste nichttriviale Ordnung als Bornsche Näherung bezeichnet wird.

In der Streutheorie

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung. Hierbei wird berechnet, wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens bei der Streuung an einem Potential V ändert, wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil für ein freies Teilchen verwendet wird:

${\hat {H}}_{0}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}$

mit dem Impulsoperator ${\hat {\mathbf {p} }}$.

Zur Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung für ein stationäres Streuproblem geht man von der Schrödingergleichung aus:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}})\right]\psi _{k}=E_{k}\psi _{k}$

mit

• der kinetischen Energie $E_{k}={\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}}{2m}}$ eines freien Teilchens
• seiner Einschußrichtung ${\frac {\vec {k}}{k}}$
• seiner Streurichtung ${\frac {\vec {k^{\prime }}}{k}}={\frac {\vec {r}}{r}}={\vec {n}}$

wobei zu beachten ist, dass es sich um eine elastische Streuung handelt, d. h. der Betrag des Impulsvektors wird nicht geändert: $k^{\prime }=k$ und für alle Vektoren $|{\vec {v}}|=v$.

Umgestellt und mit der Forderung $E\geq 0$ ergibt sich:

$\left[\Delta +k^{2}\right]\psi _{k}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V({\vec {r}})\psi _{k}=:U({\vec {r}})\psi _{k}$

Dies lässt sich mit der Methode der Greenschen Funktionen lösen:

${\begin{aligned}\left[\Delta +k^{2}\right]\phi _{0}=0\quad &\Rightarrow \quad \phi _{0}={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}\\\left[\Delta +k^{2}\right]G({\vec {r}})=\delta {({\vec {r}})}\quad &\Rightarrow \quad G({\vec {r}})=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\\\psi _{k}({\vec {r}})=\phi _{0}&+\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }G({\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime })\cdot U({\vec {r}}^{\prime })\psi _{k}({\vec {r}}^{\prime })\\\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich die Lippmann-Schwinger-Gleichung der Streutheorie:

$\psi _{k}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}V({\vec {r}}^{\prime })\psi _{k}({\vec {r}}^{\prime })$

Hier wurde explizit die Ortsdarstellung gewählt.

Diese Gleichung lässt sich iterativ lösen, indem man auf der rechten Seite $\psi _{k}({\vec {r}})$ durch die bis dahin gewonnene Lösung ersetzt und als Startwert der Iteration etwa wählt:

$\psi _{k}^{(0)}({\vec {r}})=\phi _{0}({\vec {r}})$

Die erste Iteration

$\psi _{k}^{(1)}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}V({\vec {r}}^{\prime }){\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}^{\prime }}$

ist dann die bereits oben erwähnte Bornsche Näherung in Ortsdarstellung.