Die Lobatschewski-Funktion (engl.: Lobachevsky function) ist eine eng mit der Clausen-Funktion und dem Dilogarithmus zusammenhängende spezielle Funktion der Mathematik. Die Bezeichnung geht auf John Milnor zurück, Lobatschewski hatte ähnliche Funktionen zur Berechnung hyperbolischer Volumina verwendet.

Definition

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Graph der Lobatschewski-Funktion, gezeigt wird die bei 500 abgebrochene Reihe (für die Darstellung ausreichende Genauigkeit).

Die Lobatschewski-Funktion ist definiert als Integral

 

Eigenschaften

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Die Lobatschewski-Funktion ist stetig, periodisch mit Periode   und eine ungerade Funktion. Sie hat eine gleichmäßig konvergierende Fourier-Reihe

 .

Ihre Ableitungen sind

 .

Man hat die Funktionalgleichung

 

für alle ganzen Zahlen  .

Für   gilt

 ,

  ist also der imaginärteil des (klassischen) Dilogarithmus von  . Der Zusammenhang mit dem Bloch-Wigner-Dilogarithmus ergibt sich durch die Gleichung

 .

Volumen hyperbolischer Simplizes

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Ein ideales Simplex im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum wird durch seine sechs Kantenwinkel bestimmt, wobei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die drei nicht gegenüberliegenden Winkel   die Gleichung   erfüllen. Das Volumen des idealen Simplex   kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden:

 .

Mit Hilfe dieser Formel ergeben sich zahlreiche andere die Lobatschewski-Funktion verwendende Formeln für Volumina hyperbolischer Polyeder.

Literatur

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  • John Milnor: Hyperbolic geometry: the first 150 years. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no. 1, 9–24. online
  • J. G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 149, Springer, 2006.