Logarithmische Konvexität

mathematische Funktion

Eine logarithmisch konvexe Funktion ist eine positive Funktion , für welche die Verkettung der Funktion mit dem Logarithmus konvex ist. Logarithmische Konvexität von Funktionen ist ein Spezialfall der Konvexität von Funktionen und spielt eine Rolle bei der Charakterisierung der Gammafunktion mittels des Eindeutigkeitssatzes von Bohr-Mollerup und bei Varianten der konvexen Optimierung.

Definition

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Gegeben sei eine Funktion   mit   und   für alle  . Dann heißt  

  • logarithmisch konvex, wenn   konvex ist.
  • logarithmisch konkav, wenn   konkav ist.

Ist   eine konvexe Menge, so ist dies äquivalent zu

  •   ist logarithmisch konvex genau dann, wenn für alle   und alle   gilt, dass
 .
  •   ist logarithmisch konkav genau dann, wenn für alle   und alle   gilt, dass
 .

Logarithmische Konvexität lässt sich auch für Funktionen mit   definieren, dann muss man auf eine erweiterte Definition von Konvexität von Funktionen zurückgreifen, die auch die Funktionswerte   abdeckt.

Beispiele

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  • Da die Komposition konvexer Funktionen,  , konvex ist, wenn g monoton steigend ist, und die Exponentialfunktion sowohl konvex als auch monoton steigend ist, sind logarithmisch konvexe Funktionen auch konvex. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So ist beispielsweise   eine konvexe Funktion, aber   ist nicht konvex. Daher ist   konvex, aber nicht logarithmisch konvex.
  • Ein besonders wichtiges Beispiel für eine logarithmisch konvexe Funktion ist die Gammafunktion. Nach dem Satz von Bohr-Mollerup ist jede logarithmisch konvexe Funktion auf  , die der Funktionalgleichung   genügt, ein Vielfaches der Gammafunktion.
  • Einige wichtige Wahrscheinlichkeitsdichten sind logarithmisch konkav, zum Beispiel die der Gauß-Verteilung und der Exponentialverteilung.

Eigenschaften

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  • Eine Funktion   ist genau dann logarithmisch konvex, wenn   logarithmisch konkav ist und umgekehrt.
  • Produkte logarithmisch konvexer (konkaver) Funktionen sind wieder logarithmisch konvex (konkav).
  • Die Summe zweier Logarithmisch konvexen Funktionen ist wieder logarithmisch konvex. Die analoge Aussage für logarithmisch konkave Funktionen gilt aber im Allgemeinen nicht.
  • Definiert man  , so lässt sich logarithmische Konvexität auch für Funktionen, die den Wert   annehmen definieren. Eine Funktion ist dann logarithmisch konvex (konkav), wenn die erweiterte Funktion   konvex (konkav) als erweiterte Funktion ist.
  • Da jede logarithmisch konvexe Funktion konvex ist, ist sie auch immer quasikonvex.
  • Des Weiteren übernehmen logarithmisch konvexe Funktionen alle Eigenschaften von konvexen Funktionen, insbesondere sind alle Subniveaumengen und der Epigraph einer logarithmisch konvexen Funktion konvexe Mengen.

Literatur

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  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3, S. 104–108 (online).