Lorentzfaktor

Faktor der Zeitdilatation bei Transformation von Inertialkoordinaten
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Der dimensionslose Lorentzfaktor (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Lorentzfaktor als Funktion von in Einheiten von , d. h. als Funktion von

Der Lorentzfaktor ist definiert als:

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

Ist , aber dennoch klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung () dem Wert der newtonschen Physik.

Lorentzfaktor in Abhängigkeit vom Impuls

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Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

 

mit

Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden.

Der Nachweis der Äquivalenz lässt sich über eine Gleichsetzung mit dem „normalen“ Lorentzfaktor erbringen, bei der sich der relativistische Impuls ergibt.

 

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der kinetischen Energie

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Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

 

mit

  • der kinetischen Energie   des betrachteten Objektes
  • seiner Ruheenergie  .

Lorentzfaktor bei Beschleunigungen

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Die zeitliche Ableitung von   ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes   für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung   über den Impuls lautet. Es gilt:  .

Es folgt direkt:

 

Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.[1] Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentzfaktors

 

erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:[2]

 

Einzelnachweise

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  1. Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der relativistischen Masse.
  2. Thorsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Spektrum, Heidelberg 2013, S. 327.