Lorenz-Asymmetrie-Koeffizient

Der Lorenz-Asymmetrie-Koeffizient (-Asymmetriekoeffizient) ist ein Parameter der Lorenz-Kurve, der den Grad an Asymmetrie der Kurve misst.

Definition

Dieser ist definiert als:

$S=F(\mu )+L(\mu ),$

wobei die Funktionen $F$ und $L$ wie bei der Lorenz-Kurve definiert sind und $\mu$ das arithmetische Mittel ist. Falls $S>1$ ist, dann ist der Punkt, in dem die Lorenz-Kurve parallel zur perfekten Gleichheitsgerade (line of perfect equality) verläuft, über der Symmetrieachse. Dementsprechend liegt der Punkt, in dem die Lorenz-Kurve parallel zur perfekten Gleichheitsgerade ist, bei $S<1$ unter der Symmetrieachse.

Falls die Daten aus einer logarithmischen Normalverteilung stammen, dann ist $S=1$, das heißt, die Lorenz-Kurve ist also symmetrisch.

Der Stichprobenparameter $S$ lässt sich aus den $n$ geordneten Datensätzen $\left(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n}\right)$ mittels folgender Gleichungen berechnen:

$\delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}},$

$F(\mu )={\frac {m+\delta }{n}},$

$L(\mu )={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}},$

wobei $m$ die Anzahl an Individuen mit einer Größe kleiner als $\mu$ ist und $L_{i}=\sum _{j=1}^{i}x_{j}$.

Literatur

• Christian Damgaard, Jacob Weiner: Describing inequality in plant size or fecundity. 4. Aufl. 81. Bd. Ecology, 2000. doi:10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2. S. 1139–1142.