Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt. Sie ist nach den beiden Mathematikern Édouard Lucas und Robert Daniel Carmichael benannt.

Definition

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Eine natürliche Zahl   heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

  •   ist eine ungerade Zahl
  •   ist quadratfrei
  •   besitzt mindestens 3 Primteiler
  • Für jeden Primteiler   der Zahl   gilt:
  teilt  

Würde die Zahl   nicht ungerade und quadratfrei sein müssen, dann wären Kubikzahlen von Primzahlen wie zum Beispiel   oder   triviale Lucas-Carmichael-Zahlen, weil für jede Kubikzahl   mit den drei Teilern   wäre   immer ein Teiler von  .

Beispiel

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399 = 3 · 7 · 19 und

(3+1) = 4 teilt 400 = (399+1)
(7+1) = 8 teilt 400 = (399+1)
(19+1) = 20 teilt 400 = (399+1)

Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.

Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen

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Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (Folge A006972 in OEIS):

n Primteiler
399 = 3 · 7 · 19
935 = 5 · 11 · 17
2015 = 5 · 13 · 31
2915 = 5 · 11 · 53
4991 = 7 · 23 · 31
5719 = 7 · 19 · 43
7055 = 5 · 17 · 83
8855 = 5 · 7 · 11 · 23
12719 = 7 · 23 · 79
18095 = 5 · 7 · 11 · 47
n Primteiler
20705 = 5 · 41 · 101
20999 = 11 · 23 · 83
22847 = 11 · 31 · 67
29315 = 5 · 11 · 13 · 41
31535 = 5 · 7 · 17 · 53
46079 = 11 · 59 · 71
51359 = 7 · 11 · 23 · 29
60059 = 19 · 29 · 109
63503 = 11 · 23 · 251
67199 = 11 · 41 · 149
n Primteiler
73535 = 5 · 7 · 11 · 191
76751 = 23 · 47 · 71
80189 = 17 · 53 · 89
81719 = 11 · 17 · 19 · 23
88559 = 19 · 59 · 79
90287 = 17 · 47 · 113
104663 = 13 · 83 · 97
117215 = 5 · 7 · 17 · 197
120581 = 17 · 41 · 173
147455 = 5 · 7 · 11 · 383
n Primteiler
152279 = 29 · 59 · 89
155819 = 19 · 59 · 139
162687 = 3 · 7 · 61 · 127
191807 = 7 · 11 · 47 · 53
194327 = 7 · 17 · 23 · 71
196559 = 11 · 107 · 167
214199 = 23 · 67· 139
218735 = 5 · 11 · 41 · 97
230159 = 47 · 59 · 83
265895 = 5 · 7 · 71 · 107
n Primteiler
357599 = 11 · 19 · 29 · 59
388079 = 23 · 47 · 359
390335 = 5 · 11 · 47 · 151
482143 = 31 · 103 · 151
588455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43
653939 = 11 · 13 · 17 · 269
663679 = 31 · 79 · 271
676799 = 19 · 179 · 199
709019 = 17 · 179 · 233
741311 = 53 · 71 · 197

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit vier Primfaktoren ist 8.855 = 5 · 7 · 11 · 23.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588.455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sechs Primfaktoren ist 139.501.439 = 7 · 11 · 17 · 19 · 71 · 79.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sieben Primfaktoren ist 3.512.071.871 = 7 · 11 · 17 · 23 · 31 · 53 · 71.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit acht Primfaktoren ist 199.195.047.359 = 7 · 11 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 · 239.

Eigenschaften

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  • Aufgrund der Identität   gilt für jeden Primteiler   einer natürlichen Zahl  :
 .
Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl   genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt:   teilt  .
  • Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen.
  • Lucas-Carmichael-Zahlen sind keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen.
  • Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.
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