Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

und ihre summatorische Funktion

.

Dann gilt für jede natürliche Zahl

,

wobei die Möbiusfunktion auf mit Werten in bezeichnet.

Verallgemeinerung

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Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich   der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass   eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen   erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:[1]

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

 

und ihre „summatorische“ Funktion

 

Dann gilt für jede natürliche Zahl  

 

wobei   die Möbiusfunktion auf   mit Werten in   bezeichnet.

Diese Form liefert mit   für das Kreisteilungspolynom   eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper  , also im Quotientenkörper der Polynomalgebra  . Dass   und sogar  , erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.[2]

Literatur

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  • Helmut Hasse: Zahlentheorie, 2. erweiterte Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1963, mit 49 Abbildungen.

Einzelnachweise

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  1. Helmut Hasse, I. § 2 (Teilbarkeit), Seite 21 unten.
  2. Helmut Hasse, III. § 27 (Einheitswurzelkörper), Seite 501.