Makroskopische Dimension

In der Mathematik ist die makroskopische Dimension eine Invariante metrischer Räume.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $A\subset X$, dann bezeichnen wir mit $\operatorname {diam} (A)$ den Durchmesser von $A$. Eine Funktion $f\colon X\to Y$ heißt gleichmäßig kobeschränkt (englisch uniformly cobounded), falls eine Konstant $C$ existiert, so dass für alle $y\in Y$ gilt

$\operatorname {diam} (f^{-1}(y))<C.$

Mit anderen Worten es existiert eine gleichmäßige obere Schranke $C$ für die Größe der Urbilder von $f$.

$X$ hat eine makroskopische Dimension $\operatorname {dim} _{mc}(X)$ kleiner oder gleich $n$, $\operatorname {dim} _{mc}(X)\leq n$, falls eine stetige, gleichmäßig kobeschränkte Abbildung $f:X\to N^{n}$ in einen $n$-dimensionalen Simplizialkomplex $N^{n}$ existiert.

Vergleich mit anderen Dimensionsbegriffen

Die mikroskopische Dimension ist kleiner oder gleich der asymptotischen Dimension sowie kleiner oder gleich der Überdeckungsdimension.

Gromovs Vermutung

Für kompakte $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten positiver Skalarkrümmung $M$ soll nach einer Vermutung von Gromov die makroskopische Dimension der universellen Überlagerung höchstens $n-2$ sein.

Das motivierende Beispiel sind Mannigfaltigkeiten der Form $N\times S^{2}$ für eine kompakte, $(n-2)$-dimensionale Mannigfaltigkeit $N$. Diese tragen stets Metriken positiver Skalarkrümmung und ihre universelle Überlagerung hat makroskopische Dimension höchstens $n-2$.

Eine andere, in ihrer allgemeinen Fassung aber durch Gegenbeispiele widerlegte, Vermutung Gromovs besagte, dass für kompakte $n$-Mannigfaltigkeiten, deren universelle Überlagerung makroskopische Dimension kleiner oder gleich $n-1$ ist, das Bild der Fundamentalklasse nach der klassifizierenden Abbildung der Fundamentalgruppe $\Gamma$ in $H_{*}(B\Gamma ;\mathbb {Q} )$ verschwindet.

Dranishnikov bewies, dass die makroskopische Dimension der universellen Überlagerung genau dann kleiner oder gleich $n-1$ ist, wenn das Bild der Fundamentalklasse in der ganzzahligen groben Homologie verschwindet.

Literatur

• M. Gromov: Positive curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures. Gindikin, Simon (ed.) et al., Functional analysis on the eve of the 21st century. Volume II. In honor of the eightieth birthday of I. M. Gelfand. Proceedings of a conference, held at Rutgers University, New Brunswick, NJ, USA, October 24-27, 1993. Boston, MA: Birkhäuser. Prog. Math. 132, 1-213 (1996).