McShane-Identität

Mathematische Aussage über die Längen kürzester Linien (geschlossener Geodäten) auf hyperbolischen Flächen

In der Mathematik ist die McShane-Identität eine Aussage über die Längen kürzester Linien (geschlossener Geodäten) auf hyperbolischen Flächen.

Sie ist unter anderem bemerkenswert, weil sie nicht von der hyperbolischen Metrik abhängt (obwohl Flächen einen hoch-dimensionalen Modulraum hyperbolischer Metriken besitzen), sowie wegen der Anwendungen ihrer verschiedenen Verallgemeinerungen in der höheren Teichmüller-Theorie.

McShane-Identität für hyperbolische Flächen

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Torus mit Loch

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(McShane 1991): Für die einfachen geschlossenen Geodäten in einem hyperbolischen Torus mit Loch gilt die Identität

 ,

wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten   summiert wird und   die Länge der geschlossenen Geodäte bezeichnet.

Beliebige hyperbolische Flächen

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Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

(McShane 1998): Für eine hyperbolische Fläche mit einer Spitze gilt

 ,

wobei über alle diejenigen Paare geschlossener einfacher Geodäten summiert wird, die gemeinsam mit der Spitze eine Hose beranden.

Mirzakhanis Verallgemeinerung

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Die folgende von Mirzakhani bewiesene Formel diente als Ausgangspunkt für ihre Berechnung des Weil-Petersson-Volumens der Modulräume hyperbolischer Metriken auf (berandeten) Flächen.

Für eine hyperbolische Fläche, deren Randkomponenten   geschlossene Geodäten der Längen   sind, gilt:

 .

Hierbei ist die erste Summe über alle ungeordneten Paare geschlossener einfacher Geodäten  , die mit   eine Hose beranden, die zweite Summe ist über alle geschlossenen einfachen Geodäten  , die mit   eine Hose beranden. Die Funktionen   werden durch die Geometrie der Hosen definiert, eine explizite Formel ist

 

Andere Lie-Gruppen

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Für eine quasifuchssche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit   homotopieäquivalent zum Torus mit Loch (also eine quasifuchssche Darstellung   der freien Gruppe vom Rang 2) gilt ebenfalls die Identität

 ,

wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten in   summiert wird. (Bowditch 1997)

Andere Verallgemeinerungen der McShane-Identität existieren für eine Reihe weiterer Darstellungen von Flächengruppen in  , zum Beispiel für quasifuchssche Darstellungen freier Gruppen (Akiyoshi-Miyachi-Sakuma), und auch für Hitchin-Darstellungen von Flächengruppen und freien Gruppen in   (Labourie-McShane).

Literatur

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  • McShane, Gregory: A remarkable identity for lengths of curves, Ph.D. thesis, Univ. Warwick, Coventry, (1991).
  • Bowditch, B. H.: A proof of McShane's identity via Markoff triples. Bull. London Math. Soc. 28 (1996), no. 1, 73–78.
  • Bowditch, B. H.: A variation of McShane's identity for once-punctured torus bundles. Topology 36 (1997), no. 2, 325–334.
  • McShane, Gregory: Simple geodesics and a series constant over Teichmuller space. Invent. Math. 132 (1998), no. 3, 607–632.
  • Akiyoshi, Hirotaka; Miyachi, Hideki; Sakuma, Makoto: Variations of McShane's identity for punctured surface groups. Spaces of Kleinian groups, 151–185, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 329, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
  • Mirzakhani, Maryam: Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces. Invent. Math. 167 (2007), no. 1, 179–222.
  • Tan, Ser Peow; Wong, Yan Loi; Zhang, Ying: McShane's identity for classical Schottky groups. Pacific J. Math. 237 (2008), no. 1, 183–200.
  • Labourie, François; McShane, Gregory: Cross ratios and identities for higher Teichmüller-Thurston theory. Duke Math. J. 149 (2009), no. 2, 279–345.
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