Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz

Der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz, auch zentraler Grenzwertsatz in $\mathbb {R} ^{d}$ oder multivariater zentraler Grenzwertsatz genannt, ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er gehört zu den zentralen Grenzwertsätzen, verallgemeinert den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy auf höhere Dimensionen und beschäftigt sich mit der Konvergenz in Verteilung von reskalierten Summen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung.

Aussage

Gegeben sei eine Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von unabhängig identisch verteilten Zufallsvektoren in $\mathbb {R} ^{d}$ mit dem Nullvektor $\mathbf {0}$ als Erwartungswertvektor und positiv definiter Kovarianzmatrix $C\in \mathbb {R} ^{d\times d}$.

Dann konvergiert die Folge der reskalierten Summen

$S_{n}:={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

in Verteilung gegen einen Zufallsvektor $X$, der $d$-dimensional normalverteilt mit Erwartungswertvektor $\mathbf {0}$ und Kovarianzmatrix $C$ ist.

Beweisskizze

Eine Möglichkeit des Beweises reduziert den $d$-dimensionalen Fall auf den eindimensionalen Fall. Für beliebiges $t\in \mathbb {R} ^{d}$ sei

$X_{n}^{t}:=\langle t;X_{n}\rangle$.

Dabei bezeichnet $\langle \cdot ;\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt. Dann ist

$\operatorname {E} (X_{n}^{t})=0$ und $\operatorname {Var} (X_{n}^{t})=\langle t;Ct\rangle$.

Also konvergiert für alle $t\in \mathbb {R} ^{d}$ nach dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy die Folge $X_{n}^{t}$ gegen einen reelle Zufallsvariable $X^{t}$, die normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz $\langle t;Ct\rangle$ ist. Nach dem Satz von Cramér-Wold ist dies äquivalent zur Konvergenz in Verteilung der Folge von Zufallsvektoren.

Dass die Folge von Vektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung konvergiert, folgt aus der Tatsache, dass ein Zufallsvektor $X$ genau dann mehrdimensional normalverteilt ist, wenn die $X^{t}=\langle t;X\rangle$ für alle $t\in \mathbb {R} ^{d}$ eindimensional normalverteilt sind (mit passendem Erwartungswert und passender Varianz).

Weblinks

• Yu.V. Prokhorov: Central limit theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.