Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition

Sei $(M,{\tilde {g}})$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $(E\to M,g)$ ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik $g$. Ein Zusammenhang $\nabla$ auf $E$ heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte $X,Y,Z\in \Gamma (E)$

$(\nabla _{X}g)(Y,Z)=0$

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle $X,Y,Z\in \Gamma (E)$

$X(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).$

Beispiele

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel $TM$ an $M$ mit der riemannschen Metrik von $M$. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum

Sei $(E\to M,g)$ ein Vektorbündel mit Metrik $g,$ dann ist die Menge $X$ der metrischen Zusammenhänge auf $E$ ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus ${\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E)),$ d. h., es gibt eine Abbildung

$l:{\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))\times X\to X,$

so dass mit der Notation $\omega +\nabla :=l(\omega ,\nabla )$

1. für jedes $\nabla \in X$ die Gleichung $0+\nabla =\nabla$ gilt,
2. für jedes $\omega ,\nu \in {\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))$ und für alle $\nabla \in E$ das Assoziativgesetz $(\omega +\nu )+\nabla =\omega +(\nu +\nabla )$ gilt und
3. für alle $\nabla \in X$ die Abbildung $\omega \mapsto \omega +\nabla$ bijektiv ist.

Literatur

• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
• Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
• Ü. Lumiste: Metric connection. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).